Man multiplizieren eine Matrix \( A \) mit einem Vektor \( \vec{x} \) und erhalten als Ergebnis das \( \lambda \)-fache vom Vektor \( \vec{x} \) :
\( A \cdot \vec{x}=\lambda \cdot \vec{x} \)
Dabei ist \( \vec{x} \) der Eigenvektor und \( \lambda \) der Eigenwert der Matrix \( A \).
Die Determinante gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert.
Um die Eigenwerte zu berechnen musst du das charakteristische Polynom berechnen \( \left(A-\lambda E_{n}\right) \), also die Determinante von \( A=\left(\begin{array}{ccc}21-λ & 22 & 8 \\ -10 & -10-λ & -4 \\ -14 & -16 & -4-λ \end{array}\right) \). Diese erhältst du bei einer 3x3 matrix mit der Regel von Sarrus - hier also \( -(\lambda-4)(\lambda-2)(\lambda-1) \). Somit würdest du die Eigenwerte λ=1, λ=2 und λ=4 erhalten.
Um daraus die Eigenvektoren zu bekommen müsstet du (A-λ*En) für alle Eigenwerte berechnen - z.B.:
\( A-\lambda_{1} . En=\left(\begin{array}{ccc}20 & 22 & 8 \\ -10 & -11 & -4 \\ -14 & -16 & -5\end{array}\right) \). Dafür bringst du die Matrix auf Treppennormalform.
Für die gegebene Martix würde man folgendes erhalten:
\( v=\left(\begin{array}{c}\frac{-3}{2} \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), eigenwert \( \lambda_{1}=1 \)
\( v=\left(\begin{array}{c}-1 \\ \frac{1}{2} \\ 1\end{array}\right) \), eigenwert \( \lambda_{2}=2 \)
\( v=\left(\begin{array}{c}\frac{-4}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 1\end{array}\right) \), eigenwert \( \lambda_{3}=4 \)
Die Matrix A ist auch invertierbar:
\( \left(\begin{array}{ccc|ccc}\mathbf{2 1} & 22 & 8 & 1 & 0 & 0 \\ -10 & -10 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ -14 & -16 & -4 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) bringt man mittels Gauß-Jordan auf \( \left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & -3 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{7}{2} & \frac{5}{4}\end{array}\right) \)
