Gruppenaxiome Prüfen (Gruppen)

Question

Hallo,

ich habe hier diese Gruppentagel (s.B.) bekommen und die Menge N = {a,b,c} und sollte die Gruppenaxiome testen. Habe ich das richtig gemacht?

Text erkannt:

Aur. 37
Sei \( N=\{a, b, c\} \), mit der Gruppentafel:
\begin{tabular}{l|lll}
\( * \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) \\
\hline\( a \) & \( a \) & \( b \) & \( c \) \\
\( b \) & \( b \) & \( b \) & \( c \) \\
\( c \) & \( c \) & \( b \) & \( c \)
\end{tabular}
\( \left(N_{1} *\right) \) ist Gruppe \( \Longleftrightarrow\left(N_{1} *\right) \) ist assozlativ, (N,*) hat Neutralelément
\( K(N, *) \) hat Inverses
\( \begin{array}{l} \text {. }(N, *) \text { ist assoziativ } \Leftrightarrow \forall a, b, c:(a * b) * c=a *(b * c) \\ \Leftrightarrow \underbrace{a * c}_{c}=\underbrace{a * c}_{c} \\ \Leftrightarrow \quad c_{c}=c \\ \end{array} \)
\( \therefore(N, *) \) besilt ein Neubralelenent \( \Leftrightarrow \forall x \in N \exists e: x * e=x \) mit \( x=b \) oder \( x=c \), wobei \( e=a \) das Neuhralelenest ist, da \( x * a=a * x=x \) gilt \( \forall x \in N \)
3. \( (N, *) \) besikt jedoch hein Inverses, denn \( \exists(i \in N: x * i=e \) mit \( x=a, x=b, x=c \)
4. (N,*) ist abelsch \( \Leftrightarrow \forall a, b: a * b=b * a \Leftrightarrow b=b \)
\( \Rightarrow(N, *) \) ist leine Oruppe

Comments

Die Aufgabe ist nicht korrekt gestellt, da dort von der "Gruppentafel" die Rede ist, obwohl es keine Gruppe ist.

Was ist die ursprüngliche Aufgabe? Sollst du nur überprüfen, ob es sich um eine Gruppe handelt?

Dann musst du nicht alle Gruppenaxiome überprüfen, sobald du z. Bsp. gezeigt hast, dass es nicht für jedes Element der Gruppe ein Inverses gibt.

Answer 1

Die Menge mit der Verknüpfung ist nicht abelsch, da die Tafel nicht symmetrisch ist. Die Assoziativität ist auch unvollständig. Du hast ja nur eine bestimmte Konstellation gezeigt.

Comments

Ist somit die Assoziativität unerfüllt, da         (a * b)*c = a*(b* c) zwar gilt, aber (c * b) * a = c * (a * b) z.B. nicht gilt & so ähnlich mit der Kommutativität?

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Korrekt, es muss ja für alle Elemente gelten.

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Okay alles klar, ich korrigiere das dann mal, danke!

Noch ne kleine Frage: Ist das mit dem Neutralelement so korrekt, da ja zwar a ein Neutralelement von allen ist, aber z.B. auch b ein Neutralelement von b ist, da ja b * b = b gilt.

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Das ist ja egal. \(0\cdot 0 =0\) gilt ja auch, obwohl \(0\) kein neutrales Element der Multiplikation ist.

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Die Gruppe ist nicht abelsch, da die Tafel nicht symmetrisch ist.

Es ist keine Gruppe.

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Okay

Ich habe hier grad die Assoziativität geprüft, aber es scheint das es für jede Reihenfolge gelte, oder hab ich ein Fehler gemacht?

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Text erkannt:

Zuerst für \( x=a, y=b, z=c:(\underbrace{a} b) * c=a *(b * c) \)
\( \begin{aligned} & \Leftrightarrow b * c=a * c \\ x=a, y=c, z=b & \Leftrightarrow(a * c) * b=a *(c * b) \\ & \Leftrightarrow c * b=a * b \\ & \Leftrightarrow c=b \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x=b, y=c, z=a:(b * c) * a & =b *(c * a) \\ & \Leftrightarrow c * a=b * c \\ & \Leftrightarrow c=c \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} x=b, y=a, z=c:(\underbrace{b * a}) * c=b *(a * c) \\ \Leftrightarrow b * c=b * c \\ \end{array} \)
\( \begin{aligned} x=c, y=a, z=b:(\underbrace{c * a}) * b & =c *(a * b) \\ \Leftrightarrow c * b & =c * b \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x=c, y=b, z=a:(\underbrace{c * b}) * a & =c *(b * a) \\ & \Leftrightarrow b * a=c * b \\ & \Leftrightarrow b=b \end{aligned} \)
\( \Longrightarrow\left(N_{1} *\right) \) ist assoziativ

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Ich habe es so gemacht.

Ist das richtig?