Zeigen Sie folgenden Spezialfall des obigen Satzes:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Satz. Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen und \( a^{(1)}, \ldots, a^{(s)} \in \mathbb{R} \). Weiterhin gebe es für alle \( 1 \leq j \leq s \) Teilfolgen \( \left(a_{n_{k}^{(j)}}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) mit \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}^{(j)}}=a^{(j)} \) und
\( \bigcup_{j=1}^{s}\left\{n_{k}^{(j)} \mid k \in \mathbb{N}\right\}=\mathbb{N} . \)

Dann gilt:
(a) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist beschränkt.
(b) Die Menge der Häufungspunkte der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist \( \left\{a^{(1)}, \ldots, a^{(s)}\right\} \).

Aufgabe 4 ( \( 1+4 \) Punkte). Zeigen Sie folgenden Spezialfall des obigen Satzes:
Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen und \( g, u \in \mathbb{R} \). Weiterhin sei \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=g \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}=u \). Dann gilt:
(a) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist beschränkt.
(b) Die Menge der Häufungspunkte der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist \( \{g, u\} \).

Hinweis: Sie dürfen obigen Satz natürlich nicht benutzen um diese Aufgabe zu lösen. Ansonsten dürfen Sie ihn aber in voller Allgemeinheit verwenden.

Ich würde gerne wissen, ob ich das richtig verstehe.

a) Ich weiß, dass u und g Häufungspunkte von a_n sind und dass an aus a_2n und a_2n-1 zusammengefasst wird, da dies alle geraden und ungeraden zahlen sind. Also konvergiert ja auch a_n, weil jede teilfolge konvergiert. Also wenn ein M₁ existiert mit |a_2n| < M₁ und M₂ mit |a_2n-1| < M₂, dann gilt |a_n| < max{M₁, M₂}.

Geht das so oder gibt es andere methoden?

b) reicht hier schon das argument, dass a_2n und a_2n-1 an zusammenfasst? Denn alle geraden indizes (a_2n) konvergieren gegen g und alle ungeraden indizes (a_2n-1) konvergieren gegen u.

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

zu b):

Dass \(g\) und \(u\) Häufungspunkte sind ist klar. Sei \(a\in\mathbb{R}\setminus\lbrace{u,g\rbrace}\).

Setze \(\varepsilon = \min\lbrace{|a-u|, |a-g|, |u-g|\rbrace}>0\).

Dann sind die Intervalle \(I_1 = (u-\frac\varepsilon2,u+\frac\varepsilon2),\, I_2 = (g-\frac\varepsilon2,g+\frac\varepsilon2),\, I_3 = (a-\frac\varepsilon2,a+\frac\varepsilon2)\) paarweise disjunkt.

Nun existieren \(N_1\in\mathbb{N}\) sodass für alle \(n \geq N_1\) gilt \(a_{2n-1}\in I_1\) und

\(N_2\in\mathbb{N}\) sodass für alle \(n \geq N_2\) gilt \(a_{2n}\in I_2\), d.h. für alle \(n\geq \max\lbrace{N_1,N_2\rbrace}\) gilt \(a_n\in I_1\cup I_2 \), womit nur endlich viele Folgendglieder in \(I_3\) liegen können. Mithin ist \(a\) kein Häufungspunkt.

Answer 2

Also konvergiert ja auch a_n, weil jede teilfolge konvergiert.

Das stimmt so nicht, du meinst vermutlich das zweite:

Also wenn ein M1 existiert mit |a2n| < M1 und M2 mit |a2n-1| < M2,

dann gilt |an| < max{M1, M2}.

Und das stimmt.

Comments

Verstehe und aus

|an| < max{M1, M2}.

folgt dass an beschränkt ist und daher konvergiert oder?

LG

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Wenn (a_n) 2 verschiedene Häufungspunkte hat, konvergiert es nicht.

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Hab verstanden,

weißt du, ob das hier für die b) reicht ? Die scheint sehr einfach zu sein aber gibt 4 Punkte hehe

a_2n und a_2n-1 fassen an zusammen, da a_2n alle geraden indizes und a_2n-1 alle ungeraden indizes enthält.

Wir wissen lim a_2n = g und lim a_2n-1 = u somit gilt für jede Teilfolge

entweder lim a_nk = g oder lim a_nk = u.
Also sind {u,g} die einzigen Häufungspunkte von an.

LG

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Du hast nicht wirklich begründet, warum u und g die einzigen HP sind.

Wir wissen lim a_2n= g und lim a_2n-1 = u somit gilt für jede Teilfolge

entweder lim a_nk = g oder lim a_nk = u.

Warum? Darum geht es in der Aufgabe. Also warum kann \(a\in\mathbb{R}, a \neq g, a\neq u \) kein weiterer HP sein?

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Geht das mit einer weiteren Teilfolge?

Dann definiere ich (a_nk) mit lim a_nk -> a und nehme an, dass a auch ein häufungspunkt ist. Dann zeige ich dass für die Folgenglieder a_nk gilt:

Für jedes n existiert ein N mit n_k > N, sodass alle Folgenglieder mit k> N ja auch in a_n sind.

Und dann die Begründung, dass diese ebenfalls in a_2n und a_2n-1 liegen und daher kann a kein häufungspunkt sein.

LG

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auch in a_n sind

\(a_n\) ist keine Menge, was soll das also bedeuten?

in a_2n und a_2n-1 liegen

s.o. Was bedeutet das?

Du willst doch zeigen, dass es eine Umgebung um \(a\) gibt, in der höchstens endlich viele Folgenglieder von \((a_n)_n\) liegen. Dann ist doch nach Def. \(a\) kein Häufungspunkt.

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Okay also in der Umgebung von a liegen endlich viele Folgenglieder.

Dann gilt mit dem Radius ε<0.5:
  ε<0.5*|a-g| und ε<0.5*|a-u|

Dann liegen u und g nicht in dieser Umgebung und alle Folgenglieder mit geradem und ungeradem Index auch nicht. Also kann a ≠ g und a ≠ u kein Häufungspunkt sein.

Stimmt das so?

LG

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Ich glaube die richtige Idee hast du erfasst, du musst nur etwas aufpassen und genauer sein. Ich habe eine Antwort erstellt. Eine Frage aus Interesse: Du hast vor zwei Jahren schon Fragen zur Analysis 1 gestellt, tust dies nun wieder. Wie kommts?