Von der Koordinatenform zur Parameterdarstellung der Ebenengleichung: E: x1 - x2 = 0

Question

Die Koordinatenform lautet: x1 - x2 = 0

Kann mir jemand den Rechenweg von dieser Gleichung zur Parameterdarstellung erläutern ? Vielen dank schon mal :**

Answer 1

Ebene E: x1 - x2 = 0

Für die Parametergleichung brauchst du 3 Punkte auf der Ebene.

Am einfachsten bestimmst du Achsendurchstosspunkte: Kennzeichen: 2 Koordinaten sind 0.

Hier hast du nun einen Spezialfall. x3 kommt in der Gleichung null mal vor. Die Ebene ist eine sog. projizierende Ebene, die senkrecht auf der x1x2-Ebene steht. Ein Richtungsvektor ist daher u = (0,0,1)

Nun brauchst du noch 1 Punkte auf E.

x1 - x2 = 0

Beispiel: B(1,1,0) passt und A(0.0,0) passt.

Parametergleichung:

E: r = (0,0,0) + t(0,0,1) + s(1,1,0)

Anmerkung: Vektoren (fett) mit Pfeil versehen resp. vertikal notieren.

Comments

Das Geht Doch gar nicht denn Wenn Ich für t einen Wert ungleich null einsetze erhalte Ich eine x3 Koordinaten Was aber in Der koordinatengleichung nicht gegeben ist Wie Kann Den Die ebene senkrecht auf x1x2 stehen wenn x3 nicht gegeben Ist denn Wenn Sie senkrechct steht Hat Sie Werte für x3 Und Das Ist Doch Wie Gesagt in Der Koordinatengleichung nicht Der fall. Wäre nett Wenn du Mir noch mal darauf antworten würdest :*

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Sicher geht das.

Wenn du P(1,1,500) in deine Gleichung einsetzt, bekommst du

1 - 1 = 0 und P liegt auf deiner Ebene, egal, was die 3. Koordinate von P ist. Das ist die definierende Eigenschaft von projizierenden Ebenen.

Zum Begriff der projizierenden Ebenen vgl. die technischen Zeichungen https://de.wikipedia.org/wiki/Normalprojektion#Ausgezeichnete_Geraden_und_Ebenen

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Danke Nur Ich hatte Das noch nicht in Mathe Deswegen war Das Gerade schwer Zu verstehen :* Also selbst Wenn Kein x3 in Der Koordinatengleichung gegeben Ist Kann Man Den zweiten richtungsvektor damit beschreiben ?

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Kann Man Den zweiten richtungsvektor damit beschreiben ?

Ja. Man muss das sogar. Die Ebene ragt ja aus der x1x2-Ebene raus.

Erinnere dich an die Geradengleichungen:

y = mx + q.

Speziell waren dort:

g: y = 5  parallel zur x-Achse und

h: x=3     parallel zur y-Achse

Parametergleichungen dieser beiden Geraden in R^2 sind zum Beispiel

g: r = (0 ; 5) + t (1; 0)

h: r = (3;  0) + s (0; 1)