Lotfußpunkt in einer Ebene

Question

Aufgabe: Vom Punkt A(0;0;-2) wird das Lot auf die Ebene E: x₁-x₂-x₃=1 gefällt

Gesucht Koordinaten des Lotfußpunkte

Problem/Ansatz: Normalenvektor der Ebene E=(1,-1;-1)

                        Kreuzprodukt AXF=n-Vektor

                        (0/0/-2) X (f1(f2/f3)=(1/-1/-1)

weiter komme ich nicht.

Comments

Was soll eigentlich immer diese Pseudo-Bearbeitung von Tippfehlern? Unnötig und falsch ist es auch noch. Es heißt nämlich Koordinaten des Lotfußpunktes. Genitiv und so.

Eine Qualitätssteigerung der Frage liefert das jedenfalls nicht.

Answer 1

Aloha :)

Der Normalenvektor der Ebene$$E\colon x_1-x_2-x_3=1$$besteht aus den Koffizienten$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}$$und steht senkrecht auf der Ebene.

Wähle nun einen beliebigen Punkt auf der Ebene aus, z.B: \(P(1|0|0)\), und projeziere den Verbindungsvektor von \(A(0|0|-2)\) zu \(P\), also den Vektor \(\overrightarrow{AP}=(1;0;2)^T\), auf diesen Normalenvektor:$$\overrightarrow{AP}_\parallel=\left(\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec n}{\vec n\cdot\vec n}\right)\cdot\vec n=\frac{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}}\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\frac{-1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac13\\[1ex]\frac13\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}$$Das ist der Anteil des Vektors \(\overrightarrow{AP}\), der parallel zum Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene verläuft. Wenn du diesen zum Ortsvektor von Punkt \(A\) addierst, erhältst du den gesuchten Lotfußpunkt:$$\vec\ell=\vec a+\overrightarrow{AP}_\parallel=\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac13\\[1ex]\frac13\\[1ex]\frac13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac13\\[1ex]\frac13\\[1ex]-\frac53\end{pmatrix}$$

Answer 2

Stelle mit dem Punkt und dem Normalenvektor eine Geradengleichung auf und bestimme den Schnittpunkt mit der Ebene. Das ist dann dein Lotfußpunkt. Dazu musst du nur die Gerade in die Ebene einsetzen und den Parameter bestimmen. Das ist eine einfache lineare Gleichung.

Answer 3

Man kann es auch so lösen.

Comments

wobei die Wurzel unnötig ist.

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Ja klar. Aber es wäre für den Fragesteller nicht unnötig zu wissen, weshalb unnötig. Ich nehme an, er weiß es. Darum hielt ich es für unnötig, zu erwähnen dass so eine Wurzelfunktion monoton ist.

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Der FS kann nicht einmal einen Lotfußpunkt auf einfache Weise berechnen und du denkst, er kann dann ein Minimierungsproblem mit Nebenbedingung lösen? Wow.

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Für den Fragesteller wäre es vermutlich hilfreicher gewesen, wnn du ihm erklärt hättest, dass (und warum !) nicht etwa \( \vec{a}× \vec{f}\)  Normalenvektor der Ebene ist, sondern vielmehr \( \vec{a}- \vec{f}\) (wenn auch nicht zwingend der angegebene),

Answer 4

1. Stelle eine Gerade durch A mit dem Normalenvektor auf

$$\vec x = \begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\\-r\\-r - 2 \end{pmatrix}$$

2. Setze diese Gerade in die Ebene ein, um den Parameter für den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) zu ermitteln.

$$x - y - z = 1 \newline (r) - (-r) - (-r - 2) = 1 \rightarrow r = - 1/3$$

3. Setzte den Parameter in die Gerade ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen.

$$\vec F = \begin{pmatrix} 0\\0\\-2 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1/3\\1/3\\-5/3 \end{pmatrix}$$