In welchen Intervallen ist die Funktion konvex bzw. konkav?

Question

Aufgabe: in welchen intervallen ist die funktion f(x)= 2x^2- e^{^2x-4} konkav bzw. konvex??

Meine Lösung : f(x)= 2x^2-e^^2x-4

f´(x)= 4x-2^^2x-4

                             f´´(x) = 4-4e^2x-4

f``(x)= 4-4e^2x-4 =0 +4e^2x-4

         =     4         = 4e^2x-4 /4

=      1         =e^2x-4

          ⁼  ln(1)   = ln (e^2x-4)

0      =2x-4

2    = x

meine frage lautet wie gehe ich weiter voran?? und warum muss ich ln(1) gleich ln (e^2x-4) rechnen bzw. woher kommt diese ln ??? und in meiner lösung wurd irgendwie 1 und 3 in die zweite gleichung eingesetzt woher kommen diese beiden zahlen ich hab doch x gleich zwei raus???

Answer 1

Konvex f''(x) >= 0
4 - 4·e^{2·x - 4} >= 0

Jetzt nur noch nach x auflösen.
x <= 2


Das LN bekommt man immer wenn man zu einem Exponnten auflösen möchte

a^x = b
LN(a^x) = LN(b)
x * LN(a) = LN(b)
x = LN(b) / LN(a)

Wenn a nun die Eulerische Zahl e ist gilt.

e^x = b
LN(e^x) = LN(b)
x = LN(b)

Comments

bei mir in der lösung wurd die 1 und die 3 in f zwei eingesetzt. woher kommen denn diese beiden zahlen? dann steht da fx ist auf dem intervall (-unendlich ,2) größer 0 konvex und fx ist auf (2, +unendlich) kleiner 0 und damit konkav

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Du kannst einmal das ganze über eine Ungleichung Lösen

Konvex f''(x) >= 0

Wenn man das nicht kann, kann man auch eine Gleichung nehmen. Muss dann aber links und rechts am Ende noch mal prüfen wo das ganze jetzt größer ist als 0 und wo kleiner.