Aloha :)
Die Basisvektoren von \(B\) sind bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S3\) des \(\mathbb R^3\) angegeben und die Basisvektoren von \(C\) sind bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S2\) des \(\mathbb R^2\) angegben:$$\vec b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B\!\!=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}_{S3}\quad;\quad\vec b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B\!\!=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}_{S3}\quad;\quad \vec b_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B\!\!=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}_{S3}$$$$\vec c_1=\binom{1}{0}_C=\binom{1}{2}_{S2}\quad;\quad\vec c_2=\binom{0}{1}_C=\binom{0}{1}_{S2}$$
Damit erhältst du die Transformationsmatrizen von \(B\) nach \(S3\) und von \(C\) nach \(S2\), indem du die Vektoren in der jeweiligen Standardbasis als Spalten in eine Matrix schreibst:$$T_{S3\leftarrow B}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad T_{S2\leftarrow C}=\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}$$[Wenn du diese Matrizen mit den Basisvektoren von \(B\) bzw. \(C\) multiplizierst, erhältst du die passenden Basisvektoren bezüglich \(S3\) und \(S2\).]
Zusätzlich ist eine Abbildungsmatrix von \(S3\) nach \(S2\) gegeben, denn zu den Komponenten innerhalb der Matrix \(X\) wird nichts weiter gesagt, also erwartet die Matrix \(X\) rechts Eingangsvektoren bezüglich der Basis \(S3\) und liefert Ausgangsvekoren bezüglich der Basis \(S2\):$$X={_{S2}}X_{S3}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\4 & 2 & 4\end{pmatrix}$$
Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix \({_C}X_B\), die Eingangsvektoren bezüglich der Basis \(B\) erwartet und Ausgangsvektoren bezüglich der Basis \(C\) liefert:$${_C}X_B=T_{C\leftarrow S2}\cdot{_{S2}}X_{S3}\cdot T_{S3\leftarrow B}=\left(T_{S2\leftarrow C}\right)^{-1}\cdot{_{S2}}X_{S3}\cdot T_{S3\leftarrow B}$$$$\phantom{{_C}X_B}=\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 1\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\4 & 2 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2\\2 & 6 & 4\end{pmatrix}$$
