Bestimme Basen von dem Kern und dem Bild der Abbildung.

Question

Folgende Aufgabe wurde mir gestellt. Leider ist mir nicht klar, wie man diese lösen kann.

Sei

f : R³ → R³   mit f(x) = A · x

und

A := \( \begin{pmatrix} 8 & 2 & 10 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 7 & 11 \end{pmatrix} \)

Bestimme Basen von dem Kern und dem Bild der Abbildung. Welche Dimensionen haben diese?

Answer 1

Bilde die Zeilenstufenform der Matrix A, dort kannst du anhand der Pivot Elemente und der Anzahl der freien Variablen sofort die jeweiligen Dimensionen ablesen. Die freien Variablen sind die Dim des Kerns.

Die Basis kannst du anhand der Pivotelemente ablesen und aus der Ausgansmatrix A nehmen.

Für den Kern musst du nur Ax=0 bestimmen.

Comments

Ich habe jetzt die Zeilenstufenform gebildet mit einem zusätzlichen Beispiel, könntest du bitte nochmals bei der Interpretation unterstützen?

Beispiel von oben

A = \( \begin{pmatrix} 4 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Alternatives Beispiel:

B = \( \begin{pmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten die Abbildungsmatrix:$$A=\begin{pmatrix}8 & 2 & 10\\3 & 1 & 4\\4 & 7 & 11\end{pmatrix}$$

zu 1) Basis des Bildes

Verwende elementare Spaltenoperationen, um die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren herauszurechnen. Dabei sollen möglichst viele Zeilen aus lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null entstehen:

$$\begin{array}{ccc}-4S_2 & & -5S_2\\\hline8 & 2 & 10\\3 & 1 & 4\\4 & 7 & 11\end{array}\to\begin{array}{ccc}\cdot(-1) & +S_1 & -S_1\\\hline\red0 & \red2 & \red0\\-1 & 1 & -1\\-24 & 7 & -24\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline\red0 & \red2 & \red0\\\green1 & \green0 & \green0\\24 & -17 & 0\end{array}$$

Es bleiben 2 Basisvektoren für das Bild übrig. Das Bild hat daher die Dimension \(2\).

zu 2) Basis des Kerns

Verwende elementare Zeilenoperationen, um die linearen Abhängigkeiten aus den Zeilenvektoren herauszurechnen. Dabei sollen möglichst viele Spalten aus lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null entstehen:

$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline8 & 2 & 10 & 0 & -2Z_3\\3 & 1 & 4 & 0\\4 & 7 & 11 & 0 &-Z_3\\\hline0 & -12 & -12 & 0 &\div(-12)\\3 & 1 & 4 & 0 & -3Z_3\\1 & 6 & 7 & 0\\\hline\red 0 & 1 & 1 & 0 &\\\red0 & -17 & -17 & 0 & +17Z_1\\\red1 & 6 & 7 & 0 & -6Z_1\\\hline\red0 & \green1 & 1 & 0 &\Rightarrow \green y+z=0\\\red0 & \green0 & 0 & 0\\\red1 & \green0 & 1 & 0 & \Rightarrow \red x+z=0\end{array}$$

Mit \(\;\green y=-z\;\) und \(\;\red x=-z\;\) können wir alle Vektoren des Kerns angeben:$$\begin{pmatrix}\red x\\\green y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-z\\-z\\z\end{pmatrix}=z\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}_{\vec k_1}$$

Wir erhalten einen Basisvektor für den Kern. Der Kern hat daher die Dimension \(1\).

Comments

Hinweis für den FS: Es reicht, das 2. Schema auszurechnen. Denn daraus entnimmt man für die Spaltenvektoren von A:

1.S3=S1+S2, also liegt S3 in der linearen Hülle von S1 und S2

2. Wenn man in dem Schema z gleich 0 setzt, sieht man, dass x=0 und y=0 folgt, also ist (S1,S2) linear unabhängig.

---

Vielen Dank!!!