Eine Matrix als Linearkombination eines Tupels darstellen

Question

Text erkannt:

Seien
\( B_{1}:=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), B_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right), B_{3}:=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right), B_{4}:=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right) \quad \text { und } A:=\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 0 & 2 \end{array}\right) . \)
1. Stellen Sie die Matrix \( A \) als Linearkombination des Tupels \( \left(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}\right) \) dar.
2. Zeigen Sie, dass \( \left(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{2,2} \) ist.

Answer 1

Das geht alles genau wie bei Vektoren aus \(\R^4\), nur sind die Vektoren jetzt keine Spalten, sondern als Päckchen geschrieben.

Ansatz also wie bekannt: \(\lambda_1B_1+\lambda_2B_2 + ... =A\). Gibt 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Erste Gleichung ist z.B. \(2\lambda_1=1\). Aufstellen und lösen liefert die gesuchten \(\lambda\)'s.

In b) genauso, nur mit der Nullmatrix anstelle \(A\).

Answer 2

1. \( \frac{1}{2} \)B₁-3B₂*0B₃-B₄= A

Answer 3

Die Basismatrizen haben je einen Eintrag ungleich 0. Man kann also ohne große Rechnung sehen, wie oft man welche Matrix braucht, um \( A \) darzustellen. Bspw. Brauchst du \( \frac{1}{2} \) mal die Matrix \( B_1 \). Mach dir klar, warum das so ist.

Zeige für die Basis, dass du jede beliebige Matrix \( \begin{pmatrix} a& b \\ c & d \end {pmatrix} \) darstellen kannst und dass die Matrizen lineare unabhängig sind. Das kann man aber an sich sofort sehen (Definition anwenden).

Answer 4

1.

a·B1 + b·B2 + c·B3 + d·B4 = A

Schreibe es als LGS

2·a + 0·b + 0·c + 0·d = 1
0·a + 1·b + 0·c + 0·d = -3
0·a + 0·b - 1·c + 0·d = 0
0·a + 0·b + 0·c - 2·d = 2

Du kannst jede Gleichung direkt zu einer unbekannten auflösen.

Ich erhalte als Lösung a = 0.5 ∧ b = -3 ∧ c = 0 ∧ d = -1

Also gilt: 0.5·B1 - 3·B2 + 0·B3 - B4 = A

2.

a·B1 + b·B2 + c·B3 + d·B4 = O mit O als Nullmatrix

2·a + 0·b + 0·c + 0·d = 0
0·a + 1·b + 0·c + 0·d = 0
0·a + 0·b - 1·c + 0·d = 0
0·a + 0·b + 0·c - 2·d = 0

Begründe das dieses LGS nur die Trivial-Lösung a = b = c = d = 0 besitzt.