Injektiv und oder surjektiv

Question

f: ℝ² –> ℝ² 

(x,y) ↦ (7x+1, x² -y)

Ist diese Funktion injektiv und surjektiv.

Ich habe herausgefunden, dass die Funktion injektiv ist aber bei surjektiv weiß ich nicht wie ich das berechnen und zeigen soll

Comments

Surjektiv heißt: Zu allen reellen v,w gibt es x,y mit

$$7x+1=v \text{ und }x^2-y=v$$

Versuch doch mal, ob Du das mit Standard-Techniken lösen kannst.

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Muss das beides v sein oder einmal w

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Oh je schwerer Schreibfehler, Entschuldigung. Eins muss v sein und eins muss w sein.

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Das war nicht böse gemeint. War mir nicht sicher

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Ich bekomme keine Lösung heraus, die man lösen kann

Answer 1

Man kann die erste Gleichung auflösen:

$$7x+1=v \Rightarrow x=(v-1)/7$$

Dann kann man x in die zweite Gleichung einsetzen und auflösen:

$$x^2-y=w \Rightarrow ((v-1)/7)^2-y=w \Rightarrow y=((v-1)/7)^2-w$$

Wir machen die Probe:

$$f\left(7\frac{v-1}{7}+1,(\frac{v-1}{7})^2-[(\frac{v-1}{7})^2-w]\right)=(v,w)$$

Comments

In der letzten Zeile wird $f$ nochmals auf $f(x,y)$ angewendet. Da passt etwas nicht.

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f wird auf x=(v-1)/7 und y=((v-1)/7)²-w angewendet?

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Du schreibst aber mit $x = \frac{v-1}{7}, y = (\frac{v-1}{7})^2 - w$

$$f \left(7\frac{v-1}{7}+1,(\frac{v-1}{7})^2-[(\frac{v-1}{7})^2-w]\right) = f(f(x,y))$$

da sollte doch eher

$f(x,y) = (7\frac{v-1}{7}+1,(\frac{v-1}{7})^2-[(\frac{v-1}{7})^2-w]) = (v,w)$ stehen.

Warum sollte oben $f(f(x,y)) = (v,w)$ sein?

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Ach je, jetzt sehe ich es auch, Ich ändere das mal. Danke.