Eine innermathematische Aufgabe - Umkehrung zu Bernoulli

Question

Aufgabe:

Es wird 100mal mit einem fairen Würfel gewürfelt. Die Zufallsvariable X steht für die Anzahl der geworfenen 6er.

Gesucht ist die größte Zahl k, für die gilt: P(X <= k) <= 0, 5

Was hier also gefragt wird: „Wieviele 6er werfen wir maximal mit einer Wahrscheinlichkeit von kleiner gleich 5%?

Problem/Ansatz:

Hinweis: Es ist keine "mindestens mindestens Aufgabe", sondern eine Umkehraufgabe zur Bernoulli - Kette

Answer 1

Vom Prinzip her funktioniert es wie eine 3 mal mindestens Aufgabe. Taste dich an das k heran durch Ausprobieren.

Ansonsten ist es möglich, diesen Wert einer Tabelle zu entnehmen oder im Taschenrechner gibt es einen Befehl für die inverse Binomialverteilung.

Answer 2

Es gibt verschiedene Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen. Ich bevorzuge die Näherung mittels der Normalverteilung.

Es wird 100 mal mit einem fairen Würfel gewürfelt. Die Zufallsvariable X steht für die Anzahl der geworfenen 6er.

Gesucht ist die größte Zahl k, für die gilt: P(X ≤ k) ≤ 0.5

n = 100 ; p = 1/6

μ = n·p = 16.67 ; σ = √(n·p·(1 - p)) = 3.727

P(X ≤ k) = NORMAL((k + 0.5 - 16.67)/3.727) = 0.05 --> k = 10.04

Kontrolle mittels Binomialverteilung

P(X ≤ 10) = 0.0427
P(X ≤ 11) = 0.0777

Es gilt also k = 10, wie man schon mittels der Normalverteilung näherungsweise berechnet hatte.

Comments

0,5 = 50%, nicht 5%.

Gesucht ist die größte Zahl k, für die gilt: P(X ≤ k) ≤ 0.5

Die Lösung ist danach 16.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Und das geht auch ohne NV ganz gut, denn man kann direkt den Erwartungswert testen.

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Gesucht ist die größte Zahl k, für die gilt: P(X <= k) <= 0, 5

Was hier also gefragt wird: „Wieviele 6er werfen wir maximal mit einer Wahrscheinlichkeit von kleiner gleich 5%?

Beachtet, dass Text und Gleichung sich widersprechen.

So klar ist nicht ob 5% oder 50% gemeint sind. Den auch 0,5 ist mit Leerzeichen geschrieben. Das wäre ja auch fehlerhaft.

Ich hatte das so interpretiert das es 5% wohl sein sollten. Aber wenn es 50% sind dann wäre es in der Tat noch viel einfacher.