Bestimmen Sie die Anzahl aller Sylowschen p-Untergruppen der symmetrischen Gruppe S5 für p=3 und p=5.

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl aller Sylowschen p-Untergruppen der symmetrischen Gruppe S₅ für p=3 und p=5. Geben Sie ein explizites Beispiel je einer solchen Untergruppe.

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst Sylow 3 angewendet und folgendes erhalten:

|G| = 120 = 5×3×2³

Die n_p beschreibt die Anzhal der p-Sylow-Untergruppe:

●Für n₃ gilt n₃| 40 und n₃ ≡ 1 mod 3

Also n₃ ∈ {1,4,10,40}

● Für n₅ gilt n₅| 24 und n₅ ≡ 1 mod 5

Alao n₅ ∈{1,6}

Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Es kann ja jetzt nur eine 5-Sylow-Untergruppe geben oder 6. Genauso bei der 3-Sylow-UG. Es kann 1, 4, 10 oder 40 geben.

Wie verfahre ich weiter und was wäre ein Beispiel?

Comments

Ich weiß außerdem, dass die Exponenten bei der 5-Sylow und bei der 3-Sylow beide 1 sind. Daraus kann ich schließen das beide die Ordnung 5 bzw 3 haben. Da 5 und 3  beides Primzahlen sind, sind sie zudem zyklisch also gilt:
5-Sylow = {e,g,g²,g³,g⁴} und
3-Sylow = {e, b,b²}
Allerdings komme ich ab hier nicht mehr weiter und kann daraus nichts folgern.

Answer 1

Du weisst ja, dass die 3- bzw. 5-Sylow-Untergruppen Zyklisch sind, da sie Primordnung haben. Insbesondere werden sie also von einem Element erzeugt, nämlich den 3- bzw. 5-Zykeln (zur Erinnerung: Man kann jede Permutation in Zykel zerlegen, und die Ordnung eines Elements ist einfach das kleinste gemeinsame Vielfache der Zykellängen). Ich mache es jetzt mal anhand der 3-Sylow-Untergruppen: Diese werden nach obiger Betrachtung also von einem 3-Zykel generiert, also einer von der Form (a b c). Jetzt kannst du Zählen, wie viele verschiedene solche 3-Zykel es gibt, es sind ja genau \(\dfrac{5!}{3\cdot 2} = 20\). Jede 3-Sylow-Untergruppe hat 2 dieser Zykel (das andere

Element ist die Identität), also gibt es genau \(\dfrac{20}{2} = 10\) solche Untergruppen.

Comments

Wie bist du auf die Formel:

\( \frac{5!}{3·2} \)

gekommen? Ich versuche gerade dasselbe Verfahren für die 5-Sylow anzuwenden aber komme ab da nicht weiter.