Hast du schon mal an die mehrmalige Anwendung von L'Hospital gedacht?
\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\cos(x) - a - bx - cx^2}{x^3}\) kann mit L'Hospital behandelt werden,
wobei \(\cos(x) - a - bx - cx^2\) =0 gelten muss, sonst würde L'Hospital gar nicht anwendbar sein.
Da in diesem Term x gegen 0 geht, muss a=1 gelten.
L'Hospital ergibt nun
=\(\lim_{{x \to 0}} \frac{-\sin(x) - b - 2cx}{3x^2}\),
wobei \(-\sin(x) - b - 2cx\) =0 gelten muss, sonst würde L'Hospital gar nicht anwendbar sein.
Da in diesem Term x gegen 0 geht, muss b=0 gelten.
Erneut L'Hospital:
=\(\lim_{{x \to 0}} \frac{-\cos(x) - 2c}{6x}\)
Für c=-1/2 wird der Term -\cos(0) - 2c gleich 0.
Jetzt erhältst du erneut mit L'Hospital den Bruch
\( \frac{sin(x)}{6} \), der an der Stelle 0 den Wert 0 annimmt.
Der Grenzwert für x gegen 0 existiert also mit a=1, b=0 und c=-1/2.
