Grenzwert mit Wurzeln berechnen

Question

grenzwert der folge \( a_n =  \sqrt{36n^{2}-5n} - \sqrt{36n^{2}-2n+4}\)

a_n =  sqrt(36n^2-5n) - sqrt(36n^2-2n+4)

Ich bin da auf den Grenzwert 0 gestoßen. Die Lösug soll aber angeblich falsch sein.

Zum Schluss hatte ich:$$\frac{-2n+4}{\sqrt{36n^{2}-5n} + \sqrt{36n^{2}-2n+4}}$$

-2n+4/(sqrt(36n^2-5n) + sqrt(36n^2-2n+4))

raus. Und da der Nenner gegen unendlich geht, geht der Ausdruck gegen 0.

Comments

für n gegen was?

~plot~  sqrt(36x^2-5x) - sqrt(36x^2-2x+4) ~plot~

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das steht nicht in der aufgabe

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Es ist eine Folge. Da gilt immer \(n\rightarrow \infty\).

Answer 1

√(36·n^2 - 5·n) - √(36·n^2 - 2·n + 4)

Erweiterung gemäß 3. binomischer Formel

= (√(36·n^2 - 5·n) - √(36·n^2 - 2·n + 4))·(√(36·n^2 - 5·n) + √(36·n^2 - 2·n + 4))/(√(36·n^2 - 5·n) + √(36·n^2 - 2·n + 4))

= ((36·n^2 - 5·n) - (36·n^2 - 2·n + 4))/(√(36·n^2 - 5·n) + √(36·n^2 - 2·n + 4))

= (- 3·n - 4)/(√(36·n^2 - 5·n) + √(36·n^2 - 2·n + 4))

Dein Term ist also schon fast richtig gewesen.

Jetzt kannst du noch locker mit n kürzen.

= (- 3 - 4/n)/(√(36 - 5/n) + √(36 - 2/n + 4/n^2))

lim n --> ∞

= (- 3 - 0)/(√(36 - 0) + √(36 - 0 + 0)) = - 1/4

Comments

Stimmt. Mit n kürzen habe ich vergessen. Vielen Dank!

Answer 2

Im Zähler muss \(-3n-4\) stehen. Beachte die Vorzeichen. Im Nenner kannst du jetzt \(\sqrt{36n^2}=6n\) ausklammern und wenn man im Zähler \(3n\) ausklammert, kann man kürzen. Versuch das mal.