Basis Erzeugendensystem lineare Unabhängigkeit

Question

Text erkannt:

c) Gegeben sind die folgenden drei Vektoren
\( x=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right), y=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \text { und } z=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} . \)

Zeigen Sie, dass \( (x, y, z) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

Answer 1

Aloha :)

Wenn die drei Vektoren eine Basis des \(\mathbb R^3\) bilden sollen, müssen sie ein 3-dimensionales Volumen aufspannen. Andernfalls würde dir ja mindestens eine Dimension fehlen. Das Volumen kannst du mit dem Spatprodukt$$V=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$$oder mit der der Determinante besimmen:$$V=\left|\begin{array}{rrr}4 & 2 & 0\\3 & 1 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right|=3\cdot(4\cdot1-3\cdot2)=3\cdot(-2)=-6\ne0\quad\checkmark$$

Das Volumen beträgt 6 Volumeneinheiten. Das negative Vorzeichen sagt aus, dass die 3 Basisvektoren ein Links-System bilden und kein Rechts-System. Das ist unüblich und man muss beim Rechnen etwas aufpassen. Daher sollten zwei der Basisvektoren vertauscht werden, um ein Rechts-System zu erhalten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Rechtssystem_(Mathematik)

Answer 2

Zeige, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind. 3 linear unabhängige Vektoren in einem Vektorraum der Dimension 3 bilden eine Basis.

Du kannst dafür zum Beispiel die Vektoren in eine Matrix schreiben und sie suf Zeilenstufenform bringen (Rang bestimmen).

Answer 3

Man kann erkennen, dass die x und y Vektoren eine Ebene bilden und somit den zweidimensionalen Raum aufspannen. Der Vektor z ist eindimensional und somit eine Gerade. Zusammen bilden die beiden Unterräume also den ganzen Raum des R^3

Comments

Das ist zu unpräzise. Immerhin könnte die Gerade auch in der Ebene liegen. Es ist zwar offensichtlich, dass sie es nicht tut, aber erwähnen sollte man das.

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Es sollte auch keine Verallgemeinerung sein. Aber danke für den Hinweis

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Bedenke, dass den meisten Fragestellern hier entsprechendes Verständnis fehlt. Da würde ich es lieber etwas genauer nehmen.

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Da hast du Recht. Werde ich beim nächsten mal beachten.