Landau Symbole h gegen 0

Question

Folgende aufgabe:

Schreibe f(h)=O(h^alpha) für h gegen 0 mit möglichst großem Alpha. Gegeben sei nun (cosh(h)-1)/h^2.

Ich bin bereits soweit, dass ich weiß, dass cosh(h)-1 =O(1) ist. Allerdings weiß ich nicht wie ich nun mit dem h^2 umgehen soll.

Comments

Stelle cos durch seine Taylorreihe dar...

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Cosh(x)=Reihe von n=0 bis unendlich bezogen auf x^(2n)/(2n)!.

Also wäre es O(h^4)?

Answer 1

Du hast vor einer Woche schon ähnliches gefragt (es ging um sin(h)), da gab es keine Reaktion zur Antwort. Hast Du das durchgearbeitet?

Hier geht es genauso, nur mit einer anderen Potenzreihe.

cosh(h)-1 =O(1)

Das stimmt nicht.

Also wäre es O(h4)?

Was ist "es"? Als Endergebnis stimmt das nicht.

Comments

Ja, sin(h) hab ich verstanden. Danke.

Mit der reihendarstellung hab ich auch hier gearbeitet. Hab mich leider vorhin vertan und würde als Endergebnis auf O(h^2) kommen.

Warum ist cosh(x)—1 ungleich O(1), wenn x gegen 0 geht?

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Hast Du die Potenzreihe eingesetzt und vereinfacht? Was erhältst Du dann?

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Ja genau, für cosh(h)-1 erhalte ich h^2/2! +h^4/4! + Usw.

Ich hatte hier unter einem anderen Kommentar mal die Tage gelesen, dass cosh(x)-1=O(1) sein soll.

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Was Du hier liest, ist mit Vorsicht zu genießen. Es ist keine gute Idee hier (oder woanders) was abzuschreiben ohne es geprüft und verstanden zu haben.

Deine Potenzreihe stimmt, also ist der Zähler \(O(h^{\alpha})\) mit welchen max. \(\alpha\)?

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Da würde ich dann Alpha=2 vorschlagen!?

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Richtig. Und der gesamte Bruch ist dann?

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Auch O(h^2)?

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Rate doch nicht. Rechne den Bruch aus.

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Dann muss ich da gerade wohl einen Denkfehler drin haben :(

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Du musst doch nur die von Dir zuletzt gefundene Reihe durch \(h^2\) dividieren.

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Und dann komme ich auf 1/2! +h^2/4! + ….

Also wäre das doch dann insgesamt auch wieder O(h^2)

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Nein. Es geht um eine \(h\)-Potenz, so dass \(...\le C\cdot h^{\alpha}\) gilt für \(h\) klein genug.

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Für kleine h verschwindet ja alles außer 1/2! . Also konvergiert die Reihe gegen 1/2 oder? Dann wäre es ja doch O(h^0) also O(1)

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Ja genau so ist es.