Warum ist das eine mapping und das andere nicht

Question

Text erkannt:

All of the answers above are correct.

Which of the following maps are linear?
\( \text { false } \hat{\vee} \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \text { with }\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} \cos \left(x_{1}\right) \\ \sin \left(x_{2}\right) \end{array}\right) \)
true \( \hat{R} \rightarrow \mathbb{R} \) with \( x \mapsto 2 x \)
true \( \hat{\imath} \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) with \( \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \mapsto\left\langle\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right)\right\rangle \)

Wieso ist das erste falsch und das letzte richtig? Ist das letzte nicht R^2 —> R^2

Comments

1. Welche Eigenschaften muss eine lineare Abbildung haben?

3. Was bedeutet die spitzen Klammern,?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

Answer 1

1. Betrachte \( \left(\begin{array}{l} \pi \\ \pi \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} \cos \left(\pi\right) \\ \sin \left(\pi\right) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} -1 \\ 0 \end{array}\right) \)

Aber \( 2 \cdot \left(\begin{array}{l} \pi \\ \pi \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 2\pi \\ 2\pi \end{array}\right)\)

\( \mapsto\left(\begin{array}{c} \cos \left(2\pi\right) \\ \sin \left(2\pi\right) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \ne 2 \cdot \left(\begin{array}{l} -1 \\ 0 \end{array}\right) \)

3. Die spitzen Klammern bezeichnen wohl das Skalarprodukt:

\( \left\langle\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right)\right\rangle = -x_1 + 2x_2 \) Das Ergebnis also in ℝ.