Ist dieser Beweis richtig?
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a) Sei \( f \) eine gleichmäßig stetige Funktion mit \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) Zeige: Sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset I \), eine Cauchyfolge in \( I \), so ist auch \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) eine cauchyfolge.
Beweis: \( f \) ist gleichmäßig sletig, d.h. \( \forall \epsilon>0 \exists \delta>0, \forall x_{1} x_{0} \) \( \epsilon I:\left|x-x_{0}\right|<\delta \Longrightarrow\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon \). Sei also \( €>0 \) beliebig. Nun ist \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Cauchyfolge in \( I \), d.h. wähle ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( \forall n, m \in \mathbb{N} \) mit \( n, m \geqslant N:\left|x_{n}-x_{m}\right|<\delta \) gilt.
Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von \( f \) folgt, das für dasselbe \( N \in \mathbb{N} \) auch \( \left|f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{m}\right)\right|<\in \) gilt für \( \forall n, m \in \mathbb{N} \) mit \( n, m \) \( \geqslant N \). Damit ist \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Cauchyfolge.
