Pseudo-Inverse // Gib alle Lösungen x ∈ R^4 des folgenden Ausgleichungsproblems an

Question

Man gebe alle Lösungen x ∈ R⁴ des folgenden Ausgleichungsproblems, mit b = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} \), \( X^+_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) 
\( ||X_3x-b||^2_2=min_{y \in R^3}||X_3y-b||^2_2 \) an.


Kann mir einer zeigen, wie das geht bzw. mir das vorrechnen? Das würde mir gerade enorm weiterhelfen. Habe bald eine Klausur und das leider noch nicht so ganz verstanden. Für jede Antwort: Vielen lieben Dank!

Comments

Weißt du denn, wie man die Pseudoinverse berechnet?

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Das ist mir leider entfallen... schaue aber grade nach

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Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung. Habs wieder

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Da die Pseudoinverse ja bereits gegeben ist kannst du die allgemeine Lösung hiermit bestimmen:
$$ x = A^+b+(\mathbb{I}-A^+A)z,\  \text{wobei z} \in \mathbb{R}^n \ beliebig \ ist $$

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Falls die Pseudoinverse erst berechnet werden muss und die Darstellung oben fehlerhaft war, kannst du dir die SVD sparen, da die Matrix vollen Spaltenrang hat und somit die Pseudoinverse über die Normalengleichungen bestimmt werden kann.

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Erstmal vielen Dank schonmal!
Genau die Pseudoinverse war schon gegeben. Nun brauch ich A um also weiter rechnen zu können. Kann man diese irgendwie Ablesen oder muss ich diese errechnen?

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Verwende $$ (A^+)^+=A$$, da X ja vollen Spaltenrang hat kannst du die PseudoInverse mit den Normalengleichungen bestimmen

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entschuldige die vielen fragen. Wie funktioniert das nochmal mit der Normalengleichung?
Ich habe irgendwas mit Transposition im Kopf komme aber nicht drauf.

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Hi, habe es jetzt so {A⁺ = (A^T*A)-1*A^T} berechnet wobei mich das mit der Normalengleichung immer noch interessiert. Bin jetzt an diesem Punkt

\( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3\\z_1+z_3-z_4\\z_1+z_3-z_4+6 \\-z_2-z_3+z_4+6 \end{pmatrix} \)

jetzt habe ich zwei fragen:
1. Sieht das so richtig aus?
2. Wie geht es jetzt weiter?

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ich schau mir die Lösung morgen mal genauer an.

Die Normalengleichungen hast du bei deiner Berechnung doch verwendet.

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Danke!
Das ist lieb, falls du das doch schon früher machen könntest wäre ich dir sehr dankbar da ich morgen schon die Klausur (14Uhr) habe :/. Nur diese blöde Aufgabe will mir nicht in den Kopf. Ich hoffe ich nehm mir grad nicht zu viel raus. Schönen Abend aber noch.

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Das hatte ich übrigens gerechnet:
\( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \\x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix})\begin{pmatrix} z_1\\z_2\\z_3\\z_4 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1\\z_1+z_3-z_4\\z_1+z_3-z_4+6 \\-z_2-z_3+z_4+6 \end{pmatrix}\)

Answer 1

Wenn die Spalten von A linear unabhängig sind, ist A^T*A invertierbar und A⁺ = (A^T*A)^-1*A^T.

Answer 2

Die Normalengleichungen lauten \(A^TAx=A^Tb\). Sie liefern die Lösung des Ausgleichsproblems.

Comments

Hallo und Danke!
Aber \(A^Tb\) geht hier leider nicht auf oder?
\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}= \)

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Ich weiß net ob da vielleicht ein Abschreibfehler drinsteckt,
aber für die Normalengleichung ist der Vektor b zu kurz....

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Das war die Aufgabe:

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na dann solltest Du die geplusten Matrizen transponieren und so die X_i ∈ R^4x3 aufstellen und damit in die Normalengleichunge gehen?

Redet ihr von der Transponierten als Pseudoinversen?

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Ach das mit der Pseudoinversen ging mir durch. Wenn \( X^+ \) vollen Spaltenrang hat, so ist \( x=X^+b \) eine Minimallösung. Entsprechende Formeln sollten aber alle auch in den Unterlagen auffindbar sein.

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Bin etwas verwirrt. Könntest du mir das nochmal erklären? Das ging an @wächter

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Danke @Apfelmännchen. Also heißt \( \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix}=X^+b \) wäre schon mein gewünschtes Ergebnis?

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Sollte eigentlich, da die Spalten linear unabhängig sind. Aber dafür 10 Punkte? Mh...

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Was hätte ich eigentlich gemacht hätte die Matrix keinen vollen Rang?

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Dann geht's über die von Colin oben genannte Formel. Steht denn nichts in deinem Skript?

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Jaein leider finde ich das nicht so verständlich wieder. Kannst du mir noch einmal helfen? Wie sähe das Ergebnis für diese Matrix aus? b = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \), \( X^+_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) Wäre dir mega dankbar, hoffe ich nerve dich nicht

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Hier hat die Pseudo-Inverse offensichtlich nicht vollen Rang. Dann musst du die Gleichung \(x=X_3^+b+(I-X_3^+X_3)z\) für beliebiges \(z\) verwenden. Du musst natürlich dafür \(X_3=(X_3^+)^+\) berechnen, also die Pseudo-Inverse von \(X_3^+\).