Bestimmen Sie den zwischen den Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächeninhalt für a = 1; a = 0,1; a = 0,01 und a = …

Question

1)Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = 10x • e^-x und g mit g(x) = a.
Bestimmen Sie den zwischen den Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächeninhalt für a = 1; a = 0,1; a = 0,01 und a = 0,001.

2)Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = (x^2+ 4x + 4) • e^-x.
a) Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen.

Ich habe etwas Schwierigkeiten bei diesen Aufgaben, es wäre hilfreich, wenn diese mit Rechenweg berechnet werden, damit es für mich leichter ist, die Lösungen nachzuvollziehen. LG

Answer 1

1) Schnittpunkte bestimmen

f(x)= 1

Integriere dann f(x) zw. den Schnittpunkte und ziehe die Fläche unter g(x) ab.

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+y%3D10x*e%5E%28-x%29+and+y+%3D1

2. Produktregel:

u = x^2+4x+4 , u' = 2x+4

v= e^-x, v' = -e^-x

f '(x)= (2x+4)*e^-x -(x^2+4x+4)*e^-x = e^-x*(-x^2-2x)

https://www.ableitungsrechner.net/

analog für f '' und f '''

Answer 2

\(f(x) = (x^2+ 4x + 4) •e^{-x}\)

\(f(x) =\frac{x^2+ 4x + 4}{e^{x}}\)

Weg über die Ableitung mit der Quotientenregel: \(\frac{Z}{N}=\frac{Z'•N-Z•N'}{N^2}\)

\(f'(x) =\frac{(2x+4)•e^{x}- (x^2+ 4x + 4)•e^{x}}{e^{2x}}=\frac{(2x+4)- (x^2+ 4x + 4)}{e^{x}}=\frac{-x^2-2x}{e^{x}}\)

Analog die weiteren Ableitungen.

Answer 3

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = 10x • e^-x und g mit g(x) = a. Bestimmen Sie den zwischen den Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächeninhalt für a = 1; a = 0,1; a = 0,01 und a = 0,001.

Für a = 1

Schnittstellen f(x) = g(x)

10·x·EXP(-x) = 1 --> x ≈ 0.1118 oder x ≈ 3.5772

Fläche

A ≈ ∫(10·x·EXP(-x) - 1, x, 0.1118, 3.5772) ≈ 5.197 FE

Bei 2. könntest du einen Ableitungsrechner zur Hilfe und Selbstkontrolle nehmen.

f(x) = e^(-x)·(x^2 + 4·x + 4)
f'(x) = e^(-x)·(- x^2 - 2·x)
f''(x) = e^(-x)·(x^2 - 2)