Riemann-Integrierbarkeit Formal zeigen

Question

Hi,

ich sollte einen Beweis führen und wollte nachfragen, ob meine Idee korrekt ist.

f mit f: [a,b] -> |R, soll eine monoton-steigende Funktion sein. Ich soll dann beweisen, dass die Funktion auch Riemann-integrierbar ist.

Meine Idee:

Also ich muss ja im Prinzip nur zeigen, das für jede positive Zahl ε > 0 das Differenzintegral von zwei beliebigen Treppenfunktionen kleiner als ε ist, wobei die eine Treppenfunktion über f und die andere unter f ist.

Da f ja in einem kompakten Intervall definiert ist, muss f beschränkt sein nach dem Satz des Maximums/Minimums. D.h. der Wert f(b) - f(a) ist endlich, so wie auch b - a, da ja [a,b] kompakt ist. Also ist auch das Produkt dieser beiden, also (f(b) - f(a))(b - a) endlich und wir dürfen ein beliebiges ε > 0 so wählen, sodass ε > (f(b) - f(a))(b - a) gilt. Nun nutzen wir aus, das f monoton steigend sein soll, also gilt f(b) - f(a) ≥ f(y) - f(x) für jedes x,y aus [a,b] mit y ≥ x.

Nun unterteilen wir das kompakte Intervall [a,b] in eine Portition a = x_0 < … < x_n = b.

Dann können wir die beiden Treppenfunktionen t als t(x) := f(x_i) und g mit g(x) := f(x_i-1), wobei dann wegen der Monotonie auch t ≥ f ≥ g ist.

Zum Schluss können wir also insgesamt das Differenzintegral, also das Integral von t-g mit den ganzen Informationen bis zu ε hochabschätzen und sind fertig.

LG

Answer 1

Hallo,

Ich würde die gegebene Aussage folgendermaßen zeigen:

Angenommen \( f \) ist monoton steigend (\( f(x) \leq f(y) \) für \( x \leq \) \( y \)). Sei \( P_{n}=\left\{I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\right\} \) eine Partition von \( [a, b] \) in \( n \) Intervalle \( I_{k}=\left[x_{k-1}, x_{k}\right] \), gleicher Länge \( (b-a) / n \), mit Endpunkten
\( x_{k}=a+(b-a) \frac{k}{n}, \quad k=0,1, \ldots, n-1, n . \)

Da \( f \) steigend ist,
\( M_{k}=\sup _{I_{k}} f=f\left(x_{k}\right), \quad m_{k}=\inf _{I_{k}} f=f\left(x_{k-1}\right) . \)

Summiert man eine Teleskopreihe, so erhält man:
\( \begin{aligned} U\left(f ; P_{n}\right)-L\left(U ; P_{n}\right) & =\sum \limits_{k=1}^{n}\left(M_{k}-m_{k}\right)\left(x_{k}-x_{k-1}\right) \\\ & =\frac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left[f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right] \\ & =\frac{b-a}{n}[f(b)-f(a)] . \end{aligned} \)
Daraus folgt, dass \( U\left(f ; P_{n}\right)-L\left(U ; P_{n}\right) \rightarrow 0 \) als \( n \rightarrow \infty \).

Des weiteren gilt für eine beschränkte Funktion \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \), dass Sie dann und nur dann Riemann-integrierbar ist, wenn es eine Folge \( \left(P_{n}\right) \) von Partitionen gibt, für die gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[U\left(f ; P_{n}\right)-L\left(f ; P_{n}\right)\right]=0 . \)
In diesem Fall also,
\( \int \limits_{a}^{b} f=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} U\left(f ; P_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} L\left(f ; P_{n}\right) . \)

Dies impliziert dann, dass \( f \) Riemann-integrierbar ist.

Comments

Super. Danke sehr!