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Text erkannt:

(b) Sei fR(a,b) f \in \mathcal{R}(a, b) beschränkt. Zeigen Sie, dass damit auch fp : [a,b]R f^{p}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} mit fp : tf(t)p f^{p}: t \mapsto f(t)^{p} in R(a,b) \mathcal{R}(a, b) liegt.
Hinweis: Hierfür kann der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Funktion xxp x \mapsto x^{p} im Riemann'schen Integrabilitätskriterium benutzt werden.
(c) Seien f,gR(a,b) f, g \in \mathcal{R}(a, b) beschränkt. Wir setzen fp : =(fp)1p \|f\|_{p}:=\left(\int|f|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} . Zeigen Sie, dass

Aufgabe:

Wenn f R-integrierbar ist und beschränkt, dann ist auch fp R-integrierbar.


Problem/Ansatz:

Meine Idee ist, die Definiton des Riemannschen Integrabilitätskriterium für fp aufzuschreiben mit O(fp,Z) - U(fp,Z) und dann die Oszillation von fp mit der Oszilation von f nach oben abzuschätzen. Dafür kann man bestimmt den Mittelwertsatz benutzen. Allerdings scheitere ich dabei etwas meine Idee dabei ist, die obere Schranke M und die untere Schranke m als a und b zu nehmen, womit folgt:

(Mp - mp) = (M-m) * p*c*x^(p-1)

Das c ist der Punkt zwischen M und m, an dem die Tangentensteigung der Sekantensteigung entspricht.

Nun scheitere ich aber beim Abschätzen nach oben von diesem Ausdruck, falls meine Idee überhaupt stimmt.

Mit der Abschätzung könnte man sein Epsilon doch dann so wählen, dass das Integrabilitätskriterium für fp folgen würde.

Ich bin neu in diesem Forum, weshalb ich noch nicht vertraut bin damit, wie man hier mathematisch richtig schreiben kann.

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Sollte es hier nicht Einschränkungen geben? Zum Beispiel für p oder sollte f nichnegativ sein?

Stimmt, das habe ich ganz vergessen es gilt nämlich noch:

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Text erkannt:

Aufgabe 1.3 Integration der p-ten Seien p,q>1 p, q>1 mit 1p+1q=1 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 und a,b0 a, b \geq 0 .

Wenn f negative Funktionswerte annehmen kann müsste man z.B wissen, was z.B. (-1)^(3/2) sein soll.

Vom Kontext der Aufgabe gehe ich sehr davon aus, dass f nichtnegative sein soll

Das ist gut möglich, denn ansonsten stelle ich mir eine sinnvolle Abschätzung auch recht schwer vor. Aber wie gehe ich dabei nun genau vor? Ich habe meine Idee ja schon geschildert.

Lg

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Hallo,

Deine Idee ist richtig, sie braucht nur noch ein wenig ausgeführt zu werden. Man geht von den Unter- und Obersummen für f zu einer Zerlegung [a,b] aus. Auf den Teilintervallen kann man wegen der Montonie von xxpx \mapsto x^p auf den einzelnen Teilintervallen schließen:

t[ti1,ti] : mif(t)Mit[ti1,ti] : mipf(t)pMip\forall t \in [t_{i-1},t_i]:\quad m_i \leq f(t) \leq M_i \Rightarrow \forall t \in [t_{i-1},t_i]:\quad m_i^p\leq f(t)^p \leq M_i^p

D.h. die Ober-/Untersummen für f^p sind analog zu denen von f. Jetzt braucht man nur noch zeigen, dass die Differenz von Ober- und Untersumme für f^p "klein zu kriegen" ist. Dazu wendet man dem Mittelwertsatz auf die Funktion xh(x) : =xpx \mapsto h(x):=x^p an:

Mipmip=h(Mi)h(mi)=(Mimi)h(ci)M_i^p-m_i^p=h(M_i)-h(m_i)=(M_i-m_i)h'(c_i)

Dabei ist cic_i ein Wert zwischen mim_i und MiM_i und kann einfach durch das globale Maximum C von f abgeschätzt werden, so dass

Mipmip=h(Mi)h(mi)(Mimi)pCp1M_i^p-m_i^p=h(M_i)-h(m_i) \leq (M_i-m_i)pC^{p-1}

Damit kann die Diefferenz zzwischen Ober- und Untersumme von fp durch die von f (mit Faktor) abgeschätzt werden.

Avatar von 14 k

Erst einmal vielen danke für deine ausführliche Hilfe. Setzt man dann Epsilon gleich ε / p·Cp-1, sodass sich das nach einer weiteren Abschätzung dann zu e kürzt?

Ja, das kann man so machen.

Gut, eine letzte Frage noch.

Wie rechtfertigt man hier, dass der Mittelwertsatz gilt? Kann man die Stetigkeit und Differenzierbarkeit einfach aufgrund der Polynomeigenschaften von xp annhemen? Werden diese Eigenschaften für jede Funktion f erhalten beim Potenzieren? Denn R-integrierbarkeit impliziert ja nicht unbedingt immer vollständige Stetigkeit und auch keine Differenzierbarkeit.

Darum habe ich extra nochmal die Funktion h "namentlich" eingeführt. Es wird nur die Differenzierbarkeit dieser Funktion benutzt - sie ist übrigens im Allgemeinen kein Polynom, weil p ja auch nicht natürlich sein darf.

Achso, das ist verständlich. Die Differenzierbarkeit dieser Funktion ist klar.

Nochmal Vielen Dank für deine Hilfe und einen schönen Abend wünsche ich noch.

Lg

Danke, gleichfalls

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