Text erkannt:
(b) Sei \( f \in \mathcal{R}(a, b) \) beschränkt. Zeigen Sie, dass damit auch \( f^{p}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f^{p}: t \mapsto f(t)^{p} \) in \( \mathcal{R}(a, b) \) liegt.
Hinweis: Hierfür kann der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Funktion \( x \mapsto x^{p} \) im Riemann'schen Integrabilitätskriterium benutzt werden.
(c) Seien \( f, g \in \mathcal{R}(a, b) \) beschränkt. Wir setzen \( \|f\|_{p}:=\left(\int|f|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \). Zeigen Sie, dass
Aufgabe:
Wenn f R-integrierbar ist und beschränkt, dann ist auch f^p R-integrierbar.
Problem/Ansatz:
Meine Idee ist, die Definiton des Riemannschen Integrabilitätskriterium für f^p aufzuschreiben mit O(f^p,Z) - U(f^p,Z) und dann die Oszillation von f^p mit der Oszilation von f nach oben abzuschätzen. Dafür kann man bestimmt den Mittelwertsatz benutzen. Allerdings scheitere ich dabei etwas meine Idee dabei ist, die obere Schranke M und die untere Schranke m als a und b zu nehmen, womit folgt:
(M^p - m^p) = (M-m) * p*c*x^(p-1)
Das c ist der Punkt zwischen M und m, an dem die Tangentensteigung der Sekantensteigung entspricht.
Nun scheitere ich aber beim Abschätzen nach oben von diesem Ausdruck, falls meine Idee überhaupt stimmt.
Mit der Abschätzung könnte man sein Epsilon doch dann so wählen, dass das Integrabilitätskriterium für f^p folgen würde.
Ich bin neu in diesem Forum, weshalb ich noch nicht vertraut bin damit, wie man hier mathematisch richtig schreiben kann.
