Bestimmen die Koordinaten des Vektors

Question

Aufgabe:Sei
$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$

4. Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors $b_{1}$ bzgl. $\mathcal{B}$.

Meine Lösung wäre:

$\begin{array}{l} \text { Eigenwerte von } A \text { sind }=\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=6 \\ \text { Eigenvertoren von } A \text { sind }=\begin{array}{ll} \lambda_{1}=0 & \lambda_{2}=0 \\ u_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), u_{2}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) & u_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), u_{4}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{array} \\ \lambda_{3}=6 \\ u_{5}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ \text { Koordinaten }=\left(b_{1} \text {. Basisveklor, } b_{1} \text { Basis vektor } r_{2}, b_{1} \text { Basisuektor, }\right) \\ (2,2,2) \\ \end{array}$

Ist meine Denkweise theoretisch richtig oder gibt es einen anderen Weg, diese Frage zu lösen?

Danke!

Comments

Was ist $\mathcal{B}$?

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Hier gemeint als Basis oder ?

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Eine Basis ist nirgendwo angegeben. Stattdessen eine Matrix A, die nirgendwo gebraucht wird. Lies Deine Frage mal Korrektur (ist auch teilweise unleserlich). Poste die Aufgabe vollständig im Original.

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Vielleicht ist $A$ ja die Übergangsmatrix von der Standardbasis zur Basis $B$ ?

Ich finde gerade meine Glaskugel nicht... ;)

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Das war die vorherige Frage.

3. Die Matrix $A$ hat auch 6 als Eigenwert. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis $\mathcal{B}$ aus Eigenvektoren von $A$.

Meine gefundenen Basis
$\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right]$

Answer 1

Die Koordinaten $x$, $y$ und $z$ des Vektors $b_1$ bezüglich der Basis

        $\mathcal{B}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)$

sind die Lösung der Gleichung

        $b_1 = x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + z\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Comments

wäre das alternative Lösung?

Basis Normiert
Wenn Multipliziert = EinheitsMatrix
$\begin{array}{l} B=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \\ b_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{aligned} \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \\ 0 \end{array}\right) & =1 / \sqrt{2}+1 / \sqrt{2}=\sqrt{2} \\ \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) & =0 \\ \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \frac{1}{v_{6}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) & =0\left(\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\ & =\sqrt{2}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned}$

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v_6 ist falsch, es muss eigentlich Wurzeln von 6 sein.

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Und was sind dann die Koordinaten? Und warum glaubst du, dass man das so rechnen kann?

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Koordinaten sind ($\sqrt{2}$ ,0,0)

Ich dachte mir Wenn ich b1 mit allen Vektoren multipliziere, kriege ich die Einheitsmatrix, aber in diesem Falls ist nur b1

Mittlerweile bin ich mir nicht sicher, ob es richtig ist :(

(110)(1/21/20)=1/2+1/2=2(110)13(1−11)=0(110)16(−112)=0(200)=2(100)

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Die Koordinaten sind richtig.

Geometrisch betrachtet liefert das Skalarprodukt $a\cdot b$ die orientierte Länge des Vektors, den man bekommt wenn man $a$ orthogonal auf $b$ projiziert.

Weil $\mathcal B$ eine Orthonormalbasis ist, ist das gleichzeit die entsprechende Koordinate des Vektors bezüglich $\mathcal B$.

Answer 2

hallo

wenn du b1 als Linearkombination er 3 Basisvektoren vi haben willst warum dann nicht einfach b1=rv1+sv2+tv3

dann ist b=(r,s,t) in B

(ein erster post ist unverständlich wie kann A 5 verschieene Eigenvektoren haben?)

lul

Comments

Ich habs nicht verstanden :(

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Im letzten post schriebst du "meine gefundene Basis" die nenne ich v1,v2,v3. dann ist b1 eine Linearkombination der Basis, wie ich schrieb. Was genau verstehst du daran nicht.?

lul

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Aber das ist meine gefundene Basis für 3.Frage, was ich eigentlich auch dazu geschrieben habe. Meine Frage ist immer noch "die Koordinaten des Vektors $b_{1}$ bzgl. $\mathcal{B}$." 

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Hallo

eine andere Basis kommt doch innerhalb der geposteten Frage nicht vor? was soll B sein ausser der Basis aus den Eigenvektoren?

lul