Pberprüfen Sie rechnerisch, welche der Punkte P, Q und R auf den Seiten des Dreiecks liegen.

Question

Aufgabe Dreieck (Vektoren und Geraden Punktprobe):

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Eckpunkten A \( (0|6| 6) \), B \( (0|6| 3) \) und \( C(3|3| 0) \) sowie die Punkte \( \mathrm{P}(2|2| 2), \mathrm{Q}(2|4| 1) \) und \( \mathrm{R}(2|5,5| 4,5) \).

Fertigen Sie ein Schrägbild an und überprüfen Sie rechnerisch, welche der Punkte P, Q und R auf den Seiten des Dreiecks liegen.

Answer 1

Hast du schon beim Schrägbild Probleme? Aufgrund des Schrägbildes solltest du bereits eine Vermutung haben, welcher Punkt sich auf welcher Geraden befinden könnte. Das ist dann nur noch rechnerisch zu prüfen.

Liegt Q auf der Gerade durch B und C ?

[0, 6, 3] + r * ([3, 3, 0] - [0, 6, 3]) = [2, 4, 1] --> r = 2/3

Q befindet sich auf der Geraden.

Liegt R auf der Gerade durch A und C

[0, 6, 6] + r * ([3, 3, 0] - [0, 6, 6]) = [2, 5.5, 4.5] → keine Lösung

R befindet sich nicht auf der Geraden.

Comments

Wie macht man die punktprobe genau? Verstehe es nicht sry

---

Setze die Gerade gleich dem Punkt und prüfe ob die Gleichung für einen Wert des Parameters erfüllt ist. Die Gleichungen habe ich schon aufgestellt.

Answer 2

Kannst du auch genau sagen, wo du nicht weiterkommst?

Hast du für jede der drei Seiten des Dreiecks schon eine Gerade aufgestellt? Wenn nicht, dann fange damit an. Wähle einen der Punkt als Stützvektor und den entsprechenden Vektor zwischen den Eckpunkten als Richtungsvektor.

Führe dann mit den gegebenen anderen Punkten eine Punktprobe durch, indem du in der Geradengleichung das \(vec{x}\) durch die Koordinaten des Punktes ersetzt. Berechne damit den Parameter (das sind drei einfache Gleichungen) und prüfe, ob dieser überall gleich ist. Da die Punkte ja auf der Seite des Dreiecks liegen sollen, muss der Parameter zusätzlich zwischen 0 und 1 liegen. Andernfalls wäre der Punkt zwar auf der Geraden, aber außerhalb des Dreiecks (vorausgesetzt dein Richtungsvektor ist richtig herum).

Ist die Vorgehensweise soweit klar? Dann fang an und melde dich bei Schwierigkeiten.

Comments

Sollen die geraden der Dreiecke dann verschiedene stützvektoren haben und richtungsvektoren

---

Es sind ja drei verschiedene Seiten, also ja. :)

---

Die Richtungsvektoren müssen verschieden sein. Bei den Stützvektoren muss das nicht zwangsweise so sein.

g1: X = A + r * AB
g2: X = A + s * AC
g3: X = B + t * BC

---

Wie geht’s weiter mit der punktprobe. Also wie man das macht