Binomialverteilung Fahrgäste

Question

Aufgabe:

… ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95 % der Fahrgäste zufrieden sind. Sie bestimmen mithilfe eines Ansatzes, wie viele Fahrgäste mindestens befragt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens zwei davon unzufrieden sind.

Der Anteil zufriedener Gäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5 % gestiegen. Er mittler rechnerisch wie groß der Anteil zufriedener Gästen ist. Wie berechne ich die erste Aufgabe mithilfe des Taschenrechners aus und bei der anderen Aufgabe habe ich X≤1 p=0,5 und n=100. wenn ich die Wahrscheinlichkeit davon berechnet habe, kann ich die Aufgabe, mit dem Gegenereignis berechnen?

Answer 1

Zu 1): Gesucht ist \(n\).

\(P(X\geq 2)\leq 0,90\)

Mit dem Taschenrechner ist das z.B. durch Ausprobieren lösbar.

Zu 2): Es ist \(P(X\leq 1)=0,05\). Gesucht ist \(p\). Hier über das Gegenereignis zu gehen, ist nicht sinnvoll. Nutze \(P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)\).

Answer 2

a)P(X>=2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1) >=0,9

= 1- 0,95^n- n*0,05*0,95^(n-1)  >=0,9

= 1- 0,95^n - n*0,05*0,95^n/0,95 >=0.9

Diese Gleichung ist analytisch nicht lösbar.

n= 77

b) P(X<=1) = 0,05

P(X=0)+P(X=1) = 0,05

p = Anteil der Unzufriedenen:

(1-p)^100+ 100*p*(1-p)^99 = 0,05

p= ~0,031 v ~0,037

https://www.wolframalpha.com/input?i=%281-p%29%5E100%2B+100*p*%281-p%29%5E99+%3D+0.05

Answer 3

Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind. Sie bestimmen mithilfe eines Ansatzes, wie viele Fahrgäste mindestens befragt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind.

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) ≥ 0.9

1 - 0.9 ≥ P(X ≤ 1)

P(X ≤ 1) ≤ 0.1

Für n = 77 und p = 0.5 gilt

P(X ≤ 1) = 0.0973

Es müssen also 77 Fahrgäste befragt werden.

Der Anteil zufriedener Gäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5% gestiegen. Ermittle rechnerisch, wie groß der Anteil zufriedener Gästen ist.

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = (1 - p)^0·p^100 + 100·(1 - p)^1·p^99 = 0.05 --> p ≈ 0.9534

Erste Aufgabe könnte man auch mittels der Normalverteilung zunächst nähern. E hängt hier sehr davon ab, welche Hilfsmittel verwendet werden. ein CAS kann das in der Regel direkt numerisch lösen.

Comments

Wie lautet der Befehl dazu im CAS?

Dachte an Löse(Binomial(100,p,0…1)>=1,p)

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Wir arbeiten dabei mit GeoGebra, aber ich weiß nicht wieich das eingeben soll

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p ≈ 0.9534

Wo hast du diesen Wert her?

wolfram hat einen anderen.

1- 0,031 bzw. 1-0,037

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Wäre 96,7 eine richtige Lösung für die zweite Aufgabe?

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Meinte 96,3 Prozent

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Ja. Fast richtig.

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Meinte 96,3 Prozent

Geogebra und auch ich kommen auf 95.34%

Wie hast du es berechnet?

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Warum =0,05 und nicht ≤1

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P100;0,05(X≤1)=3,7 Prozent 1-3,7=96,3

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Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5% gestiegen.

Die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung soll bei 5% liegen.

P(X ≤ 1) = 0.05

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Mit

Binomial(100,0.05,1,true)

berechnest du die Wahrscheinlichkeit das unter 100 Fahrgästen höchstens 1 Fahrgast unzufrieden ist unter der Bedingung das jeder einzelne Fahrgast zu 5% unzufrieden ist.