Eindeutigkeit mit AWP (3 Lösungen)

Question

Gegeben sei die Differentialgleichung mit dem AWP

\(x' = 2\sqrt{x} ; \quad x(0) = 0 \)

Finden Sie mindestens drei Lösungen des AWP.

Problem/Ansatz:

Ich schaffe es irgendwie nicht die dritte Lösung zu finden. Ich könnte bis jetzt nur zwei Lösungen finden, aber bei der dritten verstehe ich nicht wie ich es berechnen soll

Answer 1

Hallo,

Meine Berechnung:

Comments

Inwiefern meinst du genau das eine Lsg. verloren geht?

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Es geht eine Lösung durch die Division durch \( \sqrt{x} \) verloren.

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Wo ist denn die dritte Lösung? Das war ja die Frage. Diese Antwort trägt dazu nichts bei.

Answer 2

Bist Du mit der anderen Antwort zufrieden? Wo sind denn die drei Lösungen?

Es geht hier um was ganz anderes:
Man hat erstmal zwei Lösungen, die konstante Null und \(x(t)=t^2\). Daraus kann man sich aber beliebig viele weitere Lösungen zusammenbauen. Mit stupidem Rechnen wie üblich findet man die aber nicht.

Sei \(t_0\ge 0\) beliebig.

Muster:

\(x(t)=\begin{cases} 0 & t \in [0,t_0]\\ (t-t_0)^2 & t\ge t_0\end{cases}\)

Prüfe selbst nach, dass dieses \(x\) differenzierbar ist und die Dgl erfüllt. Graph zeichnen hilft.

Das ist ein Standardbeispiel für AWP, bei denen die rechte Seite keine Lipschitzfunktion ist.

Comments

+1 für tatsächliches Beantworten der Frage.

Leider scheinen manche FS glücklich zu sein, wenn sie irgendetwas stumpfsinnig vorgerechnet bekommen, das sie abschreiben können.

Kurze Anmerkung zu deiner Antwort:
Du kannst die Lösung eigentlich auf \((-\infty,t_0)\) ausdehnen statt nur \([0,t_0]\).

So hast du den netten Fall \(x(t) = 0\) für \(t\leq 0\) und \(x(t) = t^2\) für \(t\geq 0\) auch dabei.