Untersuchen Sie die Folge \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz

Question

Aufgabe:

Sei \( a_{1} \in(0,1) \) und sei \( a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{1+a_{n}} \) für \( n \in \mathbb{N} \). Untersuchen Sie die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Geben Sie im Falle der Konvergenz auch den Grenzwert an.

Guten Tag! Was wäre hierfür die Lösung?

Answer 1

Du kannst es so schreiben:

(2an)/(1+an)=  2* (an+1-1)/(an+1) = 2* (1- 1/(an+1)) = 2- 2/(an+1)

Answer 2

Ich setze mal an = x

Streng monoton steigend

an+1 > an
2·x/(1 + x) > x --> 0 < x < 1 → streng monoton steigend

Konvergenz (für große n gilt als Grenzwert)

an+1 = an
2·x/(1 + x) = x --> x = 1

Beschränktheit

an+1 < 1
2·x/(1 + x) < 1 --> 0 ≤ x < 1