Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Ball auf dem Boden auf?

Question

Aufgabe:

Ballwurf mit Geschwindigkeit

Problem/Ansatz:

Ein Ball wird in 35 m Höhe senkrecht nach oben geworfen.
Die Abwurfgeschwindigkeit beträgt 30 m/s.
Hinweis: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet: v(t) = 30 - 10t.
Dies ist eine zwangsläufige Folge des Gravitationsgesetzes.

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Ball auf dem Boden auf?

Answer 1

Bestimme aus der Geschwindigkeitfunktion und sonstigen in der Aufgabenstellung genannten Angaben die Weg-Zeit-Funktion.

Verwende die Weg-Zeit-Funktion um herauzszufinden, wann der Ball auf dem Boden auftrifft.

Verwende die Geschwindigkeitsfunktion um herauszufinden, welche Geschwindigkeit der Ball zu diesem Zeitpunkt hat.

Answer 2

Ein Ball wird in 35 m Höhe senkrecht nach oben geworfen. Die Abwurfgeschwindigkeit beträgt 30 m/s.

Hinweis: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet: v(t) = 30 - 10t. Dies ist eine zwangsläufige Folge des Gravitationsgesetzes.

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Ball auf dem Boden auf?

v(t) = 30 - 10·t

h(t) = -5·t^2 + 30·t + 35 = 0 --> t = 7 s

v(7) = 30 - 10·7 = -40 m/s

Hier noch eine Skizze der Funktionen

~plot~ -5x^2+30x+35;30-10x;[[0|8|-50|90]] ~plot~

Comments

Ich habe Zs andere Frage so beantwortet, als ob der Begriff der Ableitungsfunktion nicht bekannt sei. Sollte das tatsächlich der Fall sein, so ist anzunehmen, dass hier auch nicht bekannt ist, dass v die Ableitung von h ist und wie man also die h(t)-Funktion bestimmt.
In diesem Fall könnte eine Lösung folgendermaßen aussehen :
Die Steig- und die Fall-Bewegung des Balls verlaufen symmetrisch. Zunächst steigt er, seine Geschwindigkeit nimmt ab und erreicht im höchsten Punkt der Bahn den Wert 0 (der zugehörige Zeitpunkt ist wegen 0 = 30-10t der Punkt t=3s) , danach fällt er und erreicht nach weiteren 3 Sekunden wieder seine Ausgangshöhe und wieder ist der Betrag seiner Geschwindigkeit 30 m/s (Richtung abwärts). Er muss jetzt noch die 35m bis zum Boden zurücklegen. Mangels besserer Annahmen gehe man als Näherung davon aus, dass diese Strecke mit einer konstanten Geschwindigkeit zurückgelegt wird, die sich aus dem Mittelwert der Geschwindigkeiten in Höhe h=35m und in Höhe h=0m ergibt und dass dafür eine gewisse Zeitspanne Δt erforderlich ist. (Dass diese Annahme für lineare Geschwindigkeitsverläufe sogar exakt ist sei hier nur nebenbei erwähnt.)
Zu lösen ist demzufolge die Gleichung -35 = (v(6+Δt) + v(6)) / 2 *Δt, also
-35 = (30-10*(6+Δt) - 30) / 2 * Δt mit den Lösungen Δt=1 oder Δt=-7, wobei hier nur Δt=1 infrage kommt, die gesamte Flugzeit des Balls beträgt also 7 s und seine Geschwindigkeit beim Aufprall daher (30-10*7)m/s = -40 m/s.

---

Noch zwei Bemergungen :

1. Wenn man weiß, dass diese Annahme für lineare Geschwindigkeitsverläufe sogar exakt ist , dann lässt sie sich natürlich auf den gesamten Bewegungsablauf anwenden und führt über -35 = (v(0) + v(t)) / 2 * t = (30 + 30-10t) / 2 * t zu dem gesuchten Zeitpunkt t=7s.
Ich dachte aber, dass diese Annahme für kurze Zeitintervalle, in denen sich die Geschwindigkeit nicht sehr stark ändert, besser motiviert / gerechtfertigt werden kann.

2. Ohne Bewegungsgleichung liefert der Energiesatz 1/2*m*v^2 + m*g*h = konst. also
1/2*m*30^2 + m*10*35 = 1/2*m*v^2 + m*10*0 die Lösung v = ±40 m/s .

---

Bevor wir damals Abeitungen kennengelernt haben, hatten wir schon in Physik einfach mit den Funktionen

s(t) = 1/2·a·t^2 + v0·t + s0 und v(t) = a·t + v0

gerechnet.

Da man eine Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s aus der Funktion direkt ablesen kann, könnte man auch mit dem Energieerhaltungssatz rechnen. Auch den hatten wir deutlich vor der Kenntnis von Ableitungen.

Ich weiß nicht, in welchem Fach und bei welchem Kenntnisstand die Frage gestellt wurde.

Sollte dazu mehr gesagt werden und auch noch Fragen auftreten, kann ich gerne weiter behilflich sein.