Holomorphe Funktion auf einer Umgebung

Question

Aufgabe:

f(x)=\( \frac{2x(x-1)^2}{x^2+1} \) auf ℂ definiert ohne +/- i

Gibt es in einer Umgebung K ⊂ ℂ\{+/- i} von 1, eine holomorphe Funktion p für die gilt: p^2=f für x aus K ist bzw. p^3=f?

Ansatz:

Wenn ^2 oder ^3 muss die Funktion p eine Wurzel aufweisen gegenüber der ursprünglichen Funktion f, also irgendwas mit (x)^(1/2) oder x^(1/3)

Comments

Müssen die Nullstellen irgendwie berücksichtigt werden?

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Müssen die Nullstellen irgendwie berücksichtigt werden?

Nullstellen sind bei solchen Fragestelltungen problematisch.

Man weiß z.B. das nullstellenfreie holomorphe Funktionen auf Elementargebieten immer Logarithmen und Wurzeln besitzen.

Wenn du \( f(z) = (z-1)^2 \frac{2z}{z^2+1} \) schreibst, ist der zweite Faktor auf einem kleinen Elementargebiet um 1 holomorph und nullstellenfrei, man findet also ein holomorphes \( \tilde p \) mit \( \tilde p(z)^2 = \frac{2z}{z^2+1} \).

Bau aus dem \( \tilde p \) jetzt das gesuchte \( p \).

Was ist dein Gefühl zur Fragestellung \( p^3 = f \)? Was kann man da z.B. über die Ordnungen der Nullstellen sagen?

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Um es nicht per Hand machen zu müssen: Habt ihr auch etwas algebraische Topologie mitgenommen? Habt ihr vielleicht das Konzept von Überlagerungen mal besprochen? Der Fundamentalsatz der Überlagerungstheorie gibt einen schönen Weg, das Problem im Allgemeinen zu lösen.

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@joners, Nein leider nicht.

p(z)=+/-(z-1)*sqrt(2z/(z^2+1))

für p^3 müsste p(z) irgendwie von (z-1)^(2/3) abhängen, die Funktion ist aber um die 0 nicht eindeutig definierbar, oder?