Question

Finden Sie zwei parallele Ebenen \( \varepsilon_1 \) und \( \varepsilon_2 \), in denen jeweils eine der (windschiefen) Geraden \( g_1 \) bzw. \( g_2 \) liegt:
\( g_1 : \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( g_2 : \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie den Abstand \( d \) der beiden Ebenen \( \varepsilon_1 \) und \( \varepsilon_2 \)!

Comments

Habe meine Antwort zurückgezogen. 7 Fragen in einer Viertelstunde (die nicht einmal Fragen sind, sondern unreflektierte Aufgabentexte) sind einfach nur Faulheits-Spam.

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Das sind Fragen aus jeweils 20er Sets, die ich nicht lösen konnte. Trotzdem entschuldige ich mich dafür, dass ich sie nacheinander geschickt habe.

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Dann solltest du vielleicht auch mal erläutern, was du nicht konntest bzw. was du schon versucht hast, etc. Es ist außerdem nicht sinnvoll, sich mit unzähligen Problemstellungen zeitgleich zu beschäftigen. Das wirkt für uns Helfer dann einfach nur danach, dass man sich die Hausaufgaben erledigen lassen möchte. Der ein oder andere auf der Plattform mag diese Form der Pädagogik hier unterstützen, aber viele andere unterstützen das nicht. Der Lerneffekt ist dann nämlich eher minimal.

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Okay, ich werde mir das Thema noch einmal anschauen und mich dann wieder melden

Answer 1

Damit beide Gerade in jeweils einer der parallelen Ebenen liegen können, muss der Normalenvektor dieser Ebenen senkrecht auf beiden Geraden gleichzeitig stehen. Diesen Vektor kann man aber mit dem Vektorprodukt oder Kreuzprodukt berechnen. Zusätzlich kannst du dann noch jeweils einen Punkt der beiden Ebenen angeben, um die Gleichungen aufzustellen.

Comments

Werde ich diese Formel für den Abstand zwischen parallelen Ebenen verwenden?

\(   d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}   \)    A B C sind die Koeffizienten der Ebenengleichung, also -1, 1, 0

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Diese Formel kann man verwenden, ja. Das ist ja dann einfach die Hessesche Normalform und dort setzt man dann einen Punkt der anderen Ebene ein.

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Indem ich es so gemacht habe, wie Sie gesagt haben, habe ich den d \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) gefunden. Vielen Dank.

Answer 2

Für Aufgabenteil a) bräuchte man noch nicht mal etwas rechnen. Leider weist mal wieder keiner darauf hin.

$$\varepsilon_1: \overrightarrow x = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \newline \varepsilon_2: \overrightarrow x = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Dein gefundener Abstand von d = 1/2·√2 ist richtig.

Comments

Für den Abstand hilft die Parametergleichung aber wenig. Einen richtigen Mehrwert hat diese Erkenntnis also nicht. Daher ist der direkte Weg über den Normalenvektor klüger.