Verständnisproblem bei der ersten Ableitung

Question

Sei f: U -> R eine Funktion, wobei U eine offene Teilmenge des R^n ist. Dann definiert man die Funktion g: I -> R, wobei I eine offene Teilmenge von R ist, als

Text erkannt:

\( g(t)=f\left(x_{0}+t v\right. \)

Hierbei ist x0 aus U und v aus R^n.

Warum ist die erste Ableitung:

Text erkannt:

\( g^{\prime}(t)=\left\langle(\nabla f)\left(x_{0}+t v\right), v\right\rangle \)

Also ich hatte an die Richtungsableitungsdefinition gedacht, aber nach dieser müsste doch da beim Gradienten im Skalarprodukt das tv wegbleiben.

Answer 1

Ja, \(g'(0)\) ist die Richtungsableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\) in Richtung von \(v\). Um die Formel mit dem Skalarprodukt nachzuweisen, wende die Kettenregel an, um \(g\) abzuleiten. Steht dann sofort da.

Edit: Habe den ersten Satz nochmal präzisiert.

Comments

Super, dankeschön. Hab an die Kettenregel gar nicht gedacht

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Habe den ersten Satz der Antwort nochmal präzisiert.

Answer 2

Hier greift doch die Kettenregel. Wenn man den Gradienten also als "äußere Funktion" betrachtet, wird dort nach der Kettenregel natürlich wieder die "innere Funktion", also \(x_0+tv\) eingesetzt.

Comments

Ich danke Dir sehr