Rekurrenz ak+2 = \frac{14(k+1)a_{k+1}-49a_k}{(k+2)(k+1)}

Question

Ich habe vorliegen: a₀ = 0 und a₁ = 5

für k ≥ 0 gilt a_k+2 = \( \frac{14(k+1)a_{k+1}-49a_k}{(k+2)(k+1)} \)

Nun wird angegeben, dass daraus folgt:

a_k = \( \frac{5·7^{k-1}}{(k-1)!} \) für k ≥ 1

Wie kommt diese Folgerung zu Stande?

Meine Strategie war in die Formel für a_k+2 Werte für k, also 0, 1, 2, ..., einzusetzen und daraus eine allgemeine Formel herzuleiten, doch ich scheine hier einen Fehler zu machen und erkenne daher das Muster nicht.

Comments

Sorry, das war leider falsch.

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Das sollte machbar sein, war aber gar nicht die Frage.

Die Frage war, wie kommt auf die explizite Formel.

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Ich verstehe die Frage nicht das die Formel mit vollständiger Funktion zu überprüfen ist, sondern aus der rekursiven Form herzuleiten ist. Wenn ich mich irre bitte Bescheid geben.

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Genau, die Frage ist, wie ich die Formel rekursiv herleite

Answer 1

Ein paar Folgeglieder auszurechnen ist ja nicht besonders schwer. Kamst du auf die gleichen Werte oder hattest du da schon Fehler?

a0 = 0
a1 = 5
a2 = 35
a3 = 245/2
a4 = 1715/6
a5 = 12005/24
a6 = 16807/24 = 84035/120
a7 = 117649/144 = 588245/720
a8 = 117649/144 = 5294205/5040
a9 = 823543/1152 = 28824005/40320
a10 = 5764801/10368 = 201768035/362880

Comments

Im Nenner erkennst du aufgrund von 1, 2, 6, 24 evtl. den Beginn der Folge (n - 1)! und erweiterst die folgenden Brüche auf den Vermuteten Nenner.

Dann bildest du Quotienten

35/5 = 7
245/35 = 7
1715/245 = 7

Ok. Damit sollte die Folge dann klar sein,.

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Ich erkenne das an den Nennern nicht, und sicher stimmen auch nicht alle Werte in der Tabelle. Und wie kommt man darauf, wenn man das Ergebnis nicht kennt?

Answer 2

doch ich scheine hier einen Fehler zu machen und erkenne daher das Muster nicht.

Wenn du deine Ergebnisse nicht mitlieferst, kann man auch nicht sagen, was du möglicherweise falsch machst. Wenn man die Folgenglieder falsch berechnet, kann man möglicherweise das Muster auch nicht erkennen oder man erkennt ein falsches Muster.

Es gibt sicherlich eine (aufwendige) Methode, die Formel mathematisch direkt herzuleiten. Ich gehe aber davon aus, dass man sich einfach nur die Folgenglieder angeschaut hat, um nach Mustern zu suchen. Schaut man sich die ersten Folgenglieder an, so ergibt sich folgende Tabelle

\(k\)	\(a_k\)
\( 0\)	\( 0\)
\( 1\)	\(5 \)
\(2 \)	\(35 \)
\( 3\)	\( \frac{245}{2}\)
\( 4\)	\( \frac{1715}{6}\)
\(5 \)	\(\frac{12005}{24} \)

Diese Werte reichen tatsächlich schon, um eine Vermutung aufzustellen, denn es fällt auf, dass der Zähler jeweils durch 5 teilbar ist. Das könnte an Zeichen dafür sein, dass der Faktor 5 in der Formel vorkommt. Wenn man diesen Faktor einmal abspaltet, erkennt man auch sofort die Folge 1, 7, 49, 343, 2401 und damit die Potenzen von 7. Damit dürfte klar sein, dass man den Zähler in der Form \(5\cdot 7^{k-1}\) schreiben kann. Wer außerdem schon häufiger mit Fakultäten gearbeitet hat, dürfte entsprechende Folge ebenfalls sofort im Nenner erkennen.

Ich denke mehr als Mustererkennung wird bei der Folgerung nicht passiert sein, da dies wesentlich schneller zum Ziel führt als eine aufwendige Umformung. Der Vollständigkeit halber sollte man die vermutete Formel allerdings mit Hilfe vollständiger Induktion verifizieren. Das dürfte aber hier kein allzu großes Problem sein.

Answer 3

Hier kommt man mit einem Potenzreihenansatz gut weiter.

Ziel ist es dabei, eine Funktion zu finden, deren Potenzreihe die \(a_k\) als Koeffizienten hat.

Dass das möglicherweise eine gangbare Idee ist, siehst du daran wenn du die Rekursion umschreibst:
\((k+2)(k+1)a_{k+2} = 14(k+1)a_{k+1} - 49a_k \quad (1)\)

(1) sieht doch sehr danach aus, dass eine Potenzreihe ein- bzw. zweimal abgeleitet wurde. Also hoffen wir

\(\displaystyle y(x) = \sum_{k=0}a_k x^k\quad (2)\)

Jetzt leitest du (2) ein- bzw. zweimal ab und machst passende Indexverschiebungen (wir wollen ja die Koeffizienten gleicher Potenzen zusammenfassen) und erhältst:

\(y'' = 14y' - 49y \Leftrightarrow \)

\(y'' - 14y' + 49y= 0\) mit \(y(0) = a_0 = 0,\: y'(0) =a_1 = 5 \quad (3)\)

Diese DGL (3) ist einfach zu lösen und Einsetzen der Anfangsbedingungen ergibt:

\(y(x) = 5xe^{7x} \quad (4)\)

(4) können wir mit der \(e\)-Reihe sofort in eine Potenzreihe umschreiben:

\(y(x) = 5x\sum_{k=0}^\infty\frac{(7x)^k}{k!}= \sum_{k=0}^\infty5\cdot \frac {7^k}{k!}x^{k+1}= ...\)

\(\boxed{...= \sum_{k=\color{blue}1}^\infty \underbrace{5\cdot \frac {7^{k-1}}{(k-1)!}}_{=a_k}x^{k}}\)