Bestimmen Sie die Marginaldichten fx und fy der Zufallsvariablen X und Y.

Question

Aufgabe:

Der Zufallsvektor (X,Y) : Ω -> R^2 sei stetig mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f : R^2 -> R gegeben durch:

f(x,y) = \( \frac{4}{3} \)x + \( \frac{2}{3} \)y, falls 0≤x≤1 und 0≤y≤1, 0 sonst

a) Bestimmen Sie die Marginaldichten fx und fy der Zufallsvariablen X und Y.

Mein Ansatz war folgender: fx = Integral von 0 bis 1 von \( \frac{4}{3} \)x+ \( \frac{2}{3} \)y dy, also fx=\( \frac{1}{6} \)

für fy mit gleichem Ansatz fy=\( \frac{4}{6} \)

Kann das stimmen?

b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen Fx und Fy.

Muss ich hier einfach über die Dichten Integrieren?

c) Berechnen Sie Px([0,\( \frac{1}{2} \)]), Py([0,\( \frac{1}{2} \)]).

Hier habe ich gar keinen Ansatz leider.

Vielen Dank!

Answer 1

Kann das stimmen?

Nein. Deine Dichten sind konstant über dem Intervall \([0;1]\) und damit keine Dichtefunktionen (das Integral ergibt nicht 1). Wie hast du denn die Integrale berechnet? Deine Dichten sollten doch noch von \(x\) bzw. \(y\) abhängen. Hast du berücksichtigt, dass die jeweils andere Variable dann als Parameter fungiert?

b) Ja, die Verteilungsfunktion ist definiert also \(F_X(x)=\int_{0}^{x}\!f_x(x)\,\mathrm{d}x\).

c) Es gilt \(P_X([a;b])=F_X(b)-F_X(a)\). Für die zweite Wahrscheinlichkeit analog.

Comments

Vielen Dank, habe aber noch eine Frage:

Wie würde ich jetzt zum Beispiel die Cov(X,Y) berechnen? Ich wüsste nicht, wie man auf die Erwartungswerte der Zufallsvariablen kommt.

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Mit der Definition des Erwartungswertes \(E[X]=\int_0^1\!xf_x(x)\,\mathrm{d}x\). Arbeite mehr mit deinen Unterlagen. Dort solltest du alle notwendigen Definitionen und Sätze etc. finden. Als Ergänzung bietet sich auch immer eine Fachliteratur an und auch eine Recherche im Internet kann da sehr lehrreich sein.