AWP lösen mit einer Anfangsbedingung

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme

1) y‘+\( \frac{y}{x} \)+3x³y²=0

mit Anfangsbedingung y(1)=1/4

Problem/Ansatz:

hab aufgelöst: y‘=-\( \frac{1}{x} \)•y-3x³y²

dann hab ich eine Bernoullische DGL mit alpha=2

als nächstes hab ich die DGl mit -y^(-2) multipliziert (also: 1/x•y^(-1)+3x^3 und substituiert mit u=y^-1(also: u‘=1/x•u+3x^3)

Dann Integrale bestimmt sodass ich als allg Lsg u=K•x+x^4 hab.

dann rücksubst. also einfach 1/u=y(x)

anfangs bed berücksichtigt und hab für K=3 raus also Lsg des Awp: y(x)= 1/(3+x^4)

wenn ich aber eine KI benutze um meine Lösung zu vergleichen kommt die KI auf eine andere Lösung.

Liegt die KI falsch oder habe ich iwo einen Fehlee gemacht?

Answer 1

Aloha :)

Bei dem vorliegenden Patienten handelt es sich tatsächlich um eine Bernoulli'sche Differetialgleichung mit \(\alpha=2\):$$y'+\frac yx+3x^3y^2=0\quad;\quad y(1)=\frac14$$

Daher wäre das algorithmische Vorgehen so:

(1) Substituiere \(u(x)\coloneqq y^{1-\alpha}(x)\stackrel{(\alpha=2)}{=}\frac{1}{y(x)}\)

(2) Löse die resultierende lineare Differentialgleichung für \(u(x)\)

(3) Substituiere die Lösung \(u(x)\) zurück zu \(y(x)\)

Das ist hier aber viel zu aufwendig, denn man sieht die Lösung ja sofort:$$y'+\frac yx+3x^3y^2=0\quad\bigg|\cdot x$$$$xy'+y+3x^4y^2=0\quad\bigg|(xy)'=xy'+y$$$$(xy)'+3x^4y^2=0\quad\bigg|\div(xy)^2$$$$\frac{(xy)'}{(xy)^2}+3x^2=0\quad\bigg|\text{nach \(x\) integrieren}$$$$-\frac{1}{xy}+x^3=c\quad\bigg|\cdot(-x)$$$$\frac 1y-x^4=-cx\quad\bigg|+x^4\quad\bigg|\text{Kehrwert}$$$$y(x)=\frac{1}{x^4-cx}$$

Aus der Anfangsbedingung erhalten wir die Integrationskonstante:$$\frac14\stackrel!=y(1)=\frac{1}{1-c}\implies c=-3$$und damit die endgültige Lösung:$$y(x)=\frac{1}{x^4+3x}$$

Answer 2

Dann Integrale bestimmt sodass ich als allg Lsg u=K•x+x4 hab.

dann rücksubst. also einfach 1/u=y(x)

Also \(y(x)=\frac{1}{Kx+x^4}=\frac{1}{x(K+x^3)}\). Und das ist was anderes als das, was du als Resultat aufgeschrieben hast.

Prüfe deine Lösung selbst, indem du sie in die DGL einsetzt. Ansonsten ist KI auch immer mit Vorsicht zu genießen.

Comments

also muss ich jz 1/(3+x^4) in y‘ einsetzen und schauen ob da 1/4 rauskommt?

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Hast du meine Antwort überhaupt gelesen? Die von dir angegebene Funktion stimmt doch gar nicht. Und müssen musst du gar nichts. Es ist nur eine Möglichkeit, die eigene Lösung auf Richtigkeit zu überprüfen.

also muss ich jz 1/(3+x4) in y‘ einsetzen

In meiner Antwort steht auch, warum die Funktion falsch ist.

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y(x)=1/Kx+x^4 hab ich auch rausgehabt. wenn ich dann die anfangsbed einsetze also

1/4=1/K•1+1^4 da bekomme ich K=3 raus.

dann für K 3 einsetzen ergivt 1/(3x+x^4)

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oh ich sehe jz erst dass ich in der antwort falsxh aufgeschrieben hab unten im zähler sollte 3x stehen statt nur eine 3

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Korrekt. Und dann passt auch deine Lösung. Du hast also einfach etwas unkonzentriert zu Ende gerechnet. ;)

Answer 3

Hallo,

Meines Erachtens hast Du die Anfangsbedingung falsch in die Lösung eingesetzt:

Comments

ja du hast recht bei mir im nenner steht 3+x^4 es müsste aber 3x+x^4 heißen

danke