Entwicklung Potenzreihe sin(π/2)

Question

Aufgabe:

Entwickeln Sie die Funktion f : (0, +∞) → R : x → sin(x/2) im Punkt x0 = π als Potenzreihe( und bestimmen Sie den Konvergenzradius. Begründen Sie dabei, weshalb die Funktion wirklich durch die Potenzreihe dargestellt wird.)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich habe ein Proben diese Potenzreihe aufzustellen. (wenn ich das hab, schaffe ich auch den Rest der Aufgabe^^)

Mein Ansatz ist erstmal zu versuchen die Glieder der Taylorentwickung in die Form der Potenzreihe zu bekommen. Taylorreihe bis zum Grad 4 wäre ja:

$$\begin{aligned} & f(x)=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{0!}(x-\pi)^0+\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}{2} \cdot \frac{1}{1!}(x-\pi)^1 \\ &-\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{4} \frac{1}{2!}(x-\pi)^2-\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)}{8} \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 \\ &+\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{16} \frac{1}{4!}(x-\pi)^4 \end{aligned}$$

das vereinfacht sich aber dann ja zu $$f(x)=1+0-\frac{1}{8}(x-\pi)^2-0+\frac{1}{384}(x-\pi)^4$$.

daher brauche ich eine (-1)irgendwas, damit das Vorzeichen alle 2n tauscht daran scheitert es dann immer an der n=0. Irgendwie scheitert es an allem.

Danke für irgendwelche Ratschläge ^^

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nach langem überlegen und umrechnen bin ich jetzt zu folgendem Ergebnis gekommen: $$f_n(x)=\frac{(-1)^{\frac{2 n(2 n+1)}{2}}}{(2 n)!} \cdot \frac{(x-\pi)^{2 n}}{2^{2 n}}$$

Answer 1

Schreib die Reihe in der Form $\sum\limits_{i=0}^\infty a_i(x-\pi)^{2i}$.

Dann hat $a_i$ das Vorzeichen $(-1)^i$. Kriegst Du den Nenner hin?

Comments

danke schon einmal, und nein ich kriege es leider nicht hin, sonst wäre mein halbes Problem schon gelöst

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Vergleiche den Exponenten mit der Fakultät (ist ja immer so bei Potenzreihen) und beachte, dass bei jedem Ableiten der Faktor $\frac12$ dazu kommt, also bei zweimaligem Ableiten...

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ich bin jetzt auf $$f_n(x)=\frac{(-1)^{\frac{2 n(2 n+1)}{2}}}{(2 n)!} \cdot \frac{(x-\pi)^{2 n}}{2^{2 n}}$$ gekommen, danke ^^

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Warum braucht das so lange? Siehst Du nicht, wenn man es Dir sagt, dass im Exponenten dieselbe Zahl steht wie im Nenner als Fakultät? Und die 2er Potenz im Nenner auch diesen Exponenten hat? Und den Vorfaktor hatte ich Dir schon verraten, Ergebnis also: $\sum (-1)^i\frac1{2^{2i}(2i)!}(x-\pi)^{2i}$.
Den Vorfaktor hast Du nur unnötig kompliziert geschrieben, hast ja noch nicht mal die 2 gekürzt:

$\frac{2n(2n+1)}2=n(2n+1)=2n^2+n$, also $(-1)^{...}=((-1)^2)^{n^2}(-1)^n=(-1)^n$.

Also: Ja, Dein Ergebnis stimmt. Beim nächsten Mal geht's dann flotter, immer fleißig üben.

Answer 2

Kennst du die Potenzreihen vom Sinus und Kosinus? Schau sie dir mal an und versuche das auf dein Problem zu übertragen.

Ausdrücke wie $16\cdot 4!$ würde ich nicht ausrechnen, da man sonst das Muster verliert. Der Nenner lässt sich in Abhängigkeit von $n$ schreiben.

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erstmal danke, ja kenn ich, aber ich schaffe es so iwie auch nicht :/

Answer 3

Aloha :)

Eine kurze Umformung mit Berücksichtigung des Entwicklungspunktes $x_0=\pi$ bringt uns auf eine Cosinus-Funktion$$\sin\left(\frac x2\right)=\sin\left(\frac{x_0+(x-x_0)}{2}\right)\stackrel{(x_0=\pi)}{=}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x-\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{x-\pi}{2}\right)$$

Die Potenzreihe der Cosinus-Funktion kennst du bestimmt, es sind die geraden Exponenten der Exponentialreihe mit Vorzeichenwechsel bei jedem zweiten Summanden:

$$\cos(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots$$

Damit hast du die gesuchte Taylor-Reihe fertig:$$\sin\left(\frac x2\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\left(\frac{x-\pi}{2}\right)^{2k}}{(2k)!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(-\frac14\right)^k\frac{\left(x-\pi\right)^{2k}}{(2k)!}$$