Bestimmen Sie den Gradienten von f .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. Aufgabe \( (4 \times 1=4 \) Punkte \( ) \)

Wir betrachten die folgende Funktion von zwei Variablen:
\( f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=(x-y) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) . \)
a) Bestimmen Sie den Gradienten von \( f \).
b) Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von \( f \).

Problem/Ansatz:

Benötige dringend Hilfe beim lösen. Die Ableitungen sind kein Problem, aber bin mir immer extrem unsicher wie ich die kritischen Punkte bestimme bzw. hierfür die Gleichungssysteme lösen muss.

Übung in der Uni war hierzu nicht ausreichen...

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Dann schreib doch mal Deinen Gradienten hierhin ....

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { a. } \frac{\partial f}{\partial x}(x=y)=h\left(x^{2}+y^{2}\right)+(x-y) \frac{1}{x^{2}+y^{2}} 2 x=h\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{2 x(x-y)}{x^{2}+y^{2}} \\ \frac{\partial f}{\partial,}(x, y)=-h\left(x^{2}+y^{2}\right)+(x-y) \frac{1}{x^{2}+y^{2}} 2 y=-h\left(x^{2}+y^{2}\right)+\frac{2 y(x-y)}{x^{2}+y^{2}} \\\end{array} \)

Das ist mein Gradient.

Wie gesagt soweit ist mir alles klar nur dann beim finden der NSTen habe ich immer Probleme.

Ich denke man bräuchte hier eine Fallunterscheidung oder? Hier weiß ich dann aber nicht mehr weiter.

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Sowas lernt man durch Übung und Erfahrung. Gängige Methoden sind:

- scharfes Hinsehen und dann ausprobieren

- Faktoren Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

- Additions-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren wenn gleichartige Terme vorkommen, wie hier der \(\ln\)-Term

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Zur Kontrolle der Ableitungen:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Aloha :)

Kritische Punkte sind diejenigen, wo der Gradient verschwindet:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\end{pmatrix}\left((x-y)\ln(x^2+y^2)\right)=\begin{pmatrix}\ln(x^2+y^2)+\frac{2x(x-y)}{x^2+y^2}\\[1ex]-\ln(x^2+y^2)+\frac{2y(x-y)}{x^2+y^2}\end{pmatrix}\stackrel!=\binom{0}{0}$$

Wir erhalten für jede Komponene eine Gleichung, die wir nach dem Logarithmus-Term umstellen:$$\ln(x^2+y^2)=-\frac{2x(x-y)}{x^2+y^2}\quad;\quad\ln(x^2+y^2)=\frac{2y(x-y)}{x^2+y^2}$$

Da die beiden linken Seiten gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein:$$-\frac{2x(x-y)}{x^2+y^2}=\frac{2y(x-y)}{x^2+y^2}\implies-2x(x-y)=2y(x-y)\implies$$$$(2x+2y)(x-y)=0\implies 2(x^2-y^2)=0\implies x^2=y^2\implies\pink{y=\pm x}$$

Mit Hilfe der pinken Forderung können wir die beiden Komponentengleichungen nun weiter betrachten. Dazu machen wir eine Fallunterscheidung:

1. Fall: \(\pink{y=x}\)$$\ln(x^2+y^2)=-\frac{2x(x-y)}{x^2+y^2}\implies \ln(2x^2)=0\implies x^2=\frac12$$Dieser Fall liefert uns also 2 kritische Punkte:$$K_1\left(-\frac{\sqrt2}{2}\,\bigg|\,-\frac{\sqrt2}{2}\right)\quad;\quad K_2\left(\frac{\sqrt2}{2}\,\bigg|\,\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

2. Fall: \(\pink{y=-x}\)$$\ln(x^2+y^2)=-\frac{2x(x-y)}{x^2+y^2}\implies \ln(2x^2)=-\frac{4x^2}{2x^2}=-2\implies x^2=\frac{1}{2e^2}$$Dieser Fall liefert uns also 2 weitere kritische Punkte:$$K_3\left(-\frac{\sqrt2}{2e}\,\bigg|\,\frac{\sqrt2}{2e}\right)\quad;\quad K_4\left(\frac{\sqrt2}{2e}\,\bigg|\,-\frac{\sqrt2}{2e}\right)$$

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vielen Dank :)

Answer 2

Manchmal hilft scharfes Hinsehen und ein bisschen Ausprobieren. Der Gradient verschwindet unter anderem dann, wenn \(x=y\) ist und \(x^2+y^2=1\) gilt.

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vielen dank :)