Kartesisches Produkt zweier abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen

Question

Hallo zusammen, es geht diesmal um ein bischen Topologie.

Es kann sein, das ich so eine Art Frage schon mal hochgeladen hatte. Jedoch habe ich wenn dann damals keinen richtigen eigenen Ansatz gehabt. Diesmal hatte ich selber eine Idee.

Aufgabe.

Seien X und Y metrische Räume und A_1 ⊂ X und A_2 ⊂ Y abgeschlossene Teilmengen. Zeige, das das kartesische Produkt A_1 x A_2 ⊂ X x Y auch abgeschlossen ist.

(Übrigens ist die Metrik auf X x Y, als d((a,b),(c,d)) := d_1 (a,c) + d_2 (b,d) definiert, wobei d_1 die Metrik auf X und d_2 die Metrik auf Y ist)

Mein Beweis (Ich habe zwei Ansätze gemacht) :

Text erkannt:

2) Sei \( \left(x_{n}, y_{n}\right) \in A_{1} \times A_{2} \) eine Tupelfolge mit \( x_{n} \in A_{1} \). \( y_{n} \in A_{2} \) thr. Dann gilt weil \( A_{1} l A_{2} \) abgeschoses is, \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \in A_{1} \& \lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n} \in A_{2} \) Definiere \( x:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \in A_{1}, y=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n} \in A_{2} \). Behauptung: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}, y_{n}\right)=(x, y) \). dann folgt \( \forall n \geqslant N \cdot d\left(x_{n}, y_{n},(x, y)\right)=d_{1}\left(x_{n} x\right)+d_{2}\left(y_{m}, y\right)<\epsilon \). Das zeigt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}, y_{n} n\right)=(x, y) \)
Dann folgt wegen \( x \in A_{1}, y \in A_{2} \) also \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}, y_{n}\right)=(x, y) \in A_{1} \times A_{2} \).
Alternativ: Zeige, das \( X_{1} \times X_{2} \times A_{1} \times A_{2} \) offen ist. Nach Annahme sind \( X_{1} \cdot A_{1}, X_{2}, A_{2} \) offen. Nach al ist damn auch das Kartesische Produkt \( \left(X_{1} \cdot A_{1}\right) \times\left(X_{2}, A_{2}\right) \) oHen Wählealis \( \left.(x, y)\right)\left(X_{1} \cdot A_{1}\right) \times\left(X_{2} \cdot A_{2}\right. \), damn \( \left.\exists \in>0, s d . B \in E X, y\right) d\left(X_{1} \cdot A_{1}\right) \times\left(X_{2}, A_{2}\right) \)

Sei \( (a, b) \in\left(X_{1} \cdot A_{1}\right) \times\left(X_{2} \cdot A_{2}\right) \) Dann ist \( a \in X_{1} \cdot A_{1} \& b \in X_{2} \cdot A_{2} D h(a, b) \in X_{1} \times X_{2} 2(a, b) \notin A_{1} \times A_{2} \) a aso \( (a, b) \in 1 X_{1} \times X_{2} \times A_{1} \times A_{2} \) Das zeigt \( \left(X_{1} \cdot A_{1}\right) \times\left(X_{2} \cdot A_{2}\right) \subset 1 X_{1} \times X_{2} \cdot A_{1} \times A_{2} \& \) damit \( B_{E}(X, y) \subset\left(X_{1} \cdot A_{1} \times\left(X_{2} \cdot A_{2}\right) \subset 1 X_{1} \times X_{2} \cdot A_{1} \times A_{2}\right. \), was die Auscagreegt

Sind die beiden Ansätze richtig? Ich würde mich auf Antworten freuen.

LG,

Timm

Answer 1

Der erste Ansatz sieht soweit in Ordnung aus. Beim zweiten Ansatz ist die Notation unklar. Was ist \(B\)? Ein Element (!) des Tupels \((x,y)\)? Beachte außerdem, dass \(X_2=Y\) gilt. Du solltest unterschiedliche Notationen vermeiden. Darüber hinaus funktioniert die Argumentation nicht. Du zeigst dort eine Teilmengenbeziehung und folgerst darauf Offenheit für die Obermenge. Das ist im Allgemeinen aber doch gar nicht richtig. Das Intervall \([-2;2]\) ist abgeschlossen und enthält das offene Intervall \((-1;1)\). Aus \(A\) offen und \(A\subset B\) folgt also nicht, dass \(B\) auch offen ist.

Comments

Jetzt haben wir 6 Stunden gewartet und dann gleichzeitig geantwortet - was ein Zufall. Wenigstens haben wir nicht dasselbe geantwortet.

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Ich danke Dir. Ich denke mal der erste Ansatz würde ohnehin auch reichen.

Answer 2

Hallo,

im ersten Teil müsste noch Folgendes ergänzt werden:

Sei \((x_n,y_n)\) eine Tupel-Folge mit \(x_n \in A_1,y_n \in A_2\) und \((x_n,y_n) \to (x,y)\). Dann folgt \(x_n \to x, y_n \to y\) und ...

Im zweiten Teil hast Du - soweit ich das verstanden habe - nur gezeigt, dass \((X_1\setminus A_1) \times (X_2 \setminus A_2)\) offen ist. Das ist aber nur eine im Allgemeinen eine echte Teilmenge von \((X_1 \times X_2)\setminus (A_1 \times A_2)\).

Du hast in Deinem Text verwendet, dass das Kreuzprodukt von offenen Teilmengen offen ist. Wenn Ihr das verwenden könnt würde ich einfach schreiben:

$$((X_1 \times X_2) \setminus (A_1 \times A_2)=X_1 \times (X_2 \setminus A_2) \cup (X_1 \setminus A_1) \times X_2$$

also eine Vereinigung von zwei offenen Mengen

Comments

und \((x_n,y_n) \to (x,y)\)

Wozu willst du das voraussetzen? Er zeigt doch, dass das folgt, wenn die Folgen \((x_n)\) und \((y_n)\) konvergieren.

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Das (ein) Kriterium für die Abgeschlossenheit eine Menge M ist: Wenn eine Folge, die in M liegt, konvergiert, dann liegt der Grenzwert in M.

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Er zeigt doch, dass das folgt, wenn die Folgen \((x_n)\) und \((y_n)\) konvergieren.

Also muss er das nicht zusätzlich voraussetzen.

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Es muss voraussetzen, dass die Folge \(((x_n,y_n))_{n \in \N}\) in \(X_1 \times X_2\) konvergiert und dann folgern, dass der Grenzwert in \(A_1 \times A_2\) liegt. Ohne diese Voraussetzung ist das erste Auftreten von \(\lim x_n\) im Text des FS unbegründet.

Einfaches Beispiel: \(A_2=A_2=[-1,1]\) und \(x_n=(-1)^n,y_n=(-1)^n\)

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Ach, jetzt weiß ich, was du meinst. Ich hatte irgendwie im Kopf, dass er bereits die Konvergenz vorausgesetzt hat, aber er hatte die Grenzwerte nur definiert.

Dein Beispiel ist aber insofern schlecht, weil die Folgen in beiden Komponenten gar nicht konvergieren. Durch die Definition des Grenzwertes, kann man aber wohl annehmen, dass es sich um konvergente Folgen handelt. Dennoch ist der Einwand berechtigt, da man besser direkt die Konvergenz voraussetzt mit \(x_n \to x\) usw. Dann erspart man sich ja auch die "Definition" des Grenzwertes.

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Jedenfalls hat FS genug Kommentar zum Nachdenken

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Ja gut, also das es um konvergente Folgen geht, ist eigentlich in dem Sinne klar. Die Definition der Abgeschlossenenheit sagt ja: ,,Sei M eine Teilmenge eines topologischen Raumes. Jede konvergente Folge in M, muss in M auch konvergieren, d.h. ihr Grenzwert muss in M liegen, damit M abgeschlossen ist‘‘.

In dem Fall spricht man also schon von konvergenten Folgen. Es macht ja Null Sinn über divergente Folgen zu sprechen. Das also eine Folge da konvergiert, muss ich ja annehmen, damit ich überhaupt Abgeschlossenheit zeigen bzw. wiederlegen kann.