Wann konvergiert diese Reihe?

Question

Ich soll bestimmen, ob die Reihe konvergiert.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n} \cdot n} \)

Durch umformen bin ich auf das gekommen:
\( (\frac{n}{n+1})^{n+1} \)

 jetzt weiß ich nicht mehr weiter...

Answer 1

Steht dort wirklich n^n * n im Nenner? Das würde man normal zu n^(n + 1) vereinfachen.

a(n) = n!/(n^n·n) = n!/n^(n + 1)

Durch umformen bin ich auf das gekommen:

Nicht durch umformen sondern durch Anwendung des Quotientenkriteriums

a(n + 1) / a(n) = (n + 1)!/(n + 1)^((n + 1) + 1) / (n!/n^(n + 1)) 
a(n + 1) / a(n) = n^(n + 1)/(n + 1)^(n + 1)
a(n + 1) / a(n) = (n/(n + 1))^(n + 1)

Jetzt solltest du davon mal den Grenzwert für n → ∞ bestimmen.

lim (n → ∞) (n/(n + 1))^(n + 1)

Setze m = n + 1

lim (m → ∞) ((m - 1)/m)^m
lim (m → ∞) (1 - 1/m)^m = 1/e < 1

Damit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium

Answer 2

Hallo Nick808,

deine Umformung verstehe ich nicht. Ich glaube du hast es mit dem Quotientenkriterium versucht.

Ich habe hier noch einen anderen Ansatz für dich. Das Quotientenkriterium aus dem Beitrag von Mathe_coach ist optimal, jedoch kann es leider nicht immer funktionieren, da die Quotientenfolge auch mal den Grenzwert 1 haben könnte, wo man leider keine Aussage bzgl. der Konvergenz der Reihe treffen kann (Das passiert häufiger als man denkt). Hier ist also nochmal ein allgemeiner Ansatz, den du in der Art immer anwenden kannst. Ich habe es in zwei Schritte unterteilt.

1. Schritt (Eine notwendige Abschätzung).

Wir zeigen die Abschätzung n! / n^n ≤ 1/sqrt(n) für alle n ≥ 2. Der Ausdruck ,,sqrt‘‘ steht für die Wurzel, d.h. also sqrt(n) := n^(1/2) . Hierbei reicht es aber bereits schon aus die Abschätzung n! ≤ n^(n-1/2) zu zeigen, da die äquivalent zu der obigen ist.

Beweis. (Induktion für n > 1)

Zu zeigen ist n! ≤ n^(n-1/2) für n > 1. Ich bezeichne jetzt die zu zeigende Ungleichheit [ n! ≤ n^(n-1/2) ] mal als ❗️.

Für n = 2 ist ❗️ offensichtlich wahr. Sei nun n > 2 und ❗️ gelte für dieses n (Induktionsannahme). Dann folgt mit der Induktionsannahme :

(n+1)! = (n+1)n! ≤ (n+1) n^(n-1/2)

≤ (n+1) (n+1)^(n-1/2) = (n+1)^(n+1/2)

=> (n+1)! ≤ (n+1)^(n+1/2)

(Das ist die Aussage für n+1 von ❗️)

Damit ist ❗️gezeigt. Da ❗️äquivalent zu der ursprünglichen Aussage [ n! / n^n ≤ 1/sqrt(n) für alle n > 1 ] war, ist diese damit auch bewiesen.

2. Schritt (Zusammensetzung und endgültige Abschätzung der Reihe).

Mit der obigen bewiesen Ungleichung folgern wir für alle n > 1:

n! / n^(n+1) ≤ 1/sqrt(n)*n = 1/n^(3/2), also

n! / n^(n+1) ≤ 1/n^(3/2). (Unsere gewünschte Kernaussage)

D.h. die Reihe zu der Folge 1/n^(3/2) ist eine obere Schranke für die Reihe aus der Aufgabe.

Da die Reihe zu der Folge 1/n^(3/2) als obere Schranke konvergiert (eine konvergente harmonische Reihe), folgt nach dem Vergleichstest auch die Konvergenz von der Reihe aus der Aufgabe.

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Letzte Anmerkung: Die Reihe aus der Aufgabe ist auch absolut konvergent (falls gefragt war), da die Folge

(n! / n^(n+1)) für alle n positiv ist und daher

|n! / n^(n+1)| = n! / n^(n+1) gilt, wodurch  nämlich die Absolutbetrag-Reihe einfach die Reihe selbst ist und daher auch konvergiert.

(Mit dem Quotientenkriterium hättest du schon automatisch die absolute Konvergenz gezeigt. Da wir hier aber eine andere Methode verwendet haben, ist es immer optimal die absolute Konvergenz separat zu untersuchen, was ja aber hier nicht so schwer zu sehen war)