Hallo.
Merke dir die Potenzregeln:
0) Potenzierung:
Es gilt x^n = x * … * x (n-mal), wobei n ∈ |N ist. Der Spezialfall ist für n = 2, also gilt x^2 = x*x.
1) Multiplikationsregel und Divisionsregel von Potenzen:
Es gilt
x^a * x^b = x^(a+b) für alle x ∈ |R
x^a / x^b = x^(a-b) für alle x ∈ |R \ {0}
2) Potenz-Potenzierung-Regel:
Es gilt
(x^a)^b = x^(ab) für alle x ∈ |R
3) Spezielle Basen und Potenzen:
Es gilt
x^0 = 1 für alle x ∈ |R \ {0} und 0^m= 0 für jede Zahl m ∈ (0,inf).
1^n = 1*…*1 = 1 für alle n ∈ |N
0^0 ist nicht definiert.
4) Die Wurzel:
Die Quadratwurzel sqrt: [0,inf) —> |R, ist für jede nicht-negative Zahl x ≥ 0 definiert als sqrt(x) := x^(1/2)
Die Allgemeine p-te Wurzel lautet x^(1/p). Also die p-te Wurzel heisst die Zahl x mit dem Kehrwert 1/p zu potenzieren. Die Quadratwurzel ist da eben der Spezialfall für p = 2.
5) Negative Potenzen:
Die negativen Potenzen sind definiert als x^(-1) := 1/x für alle x ∈ |R \ {0}.
6) Rationale Potenzen:
Mit 2) und 4) erkennen wir, das eine Potenz x^(a/b), wobei a/b ∈ Q rational ist, folgenderweise definiert wird
x^(a/b) = (x^a)^(1/b). Also ist x^(a/b) die b-te Wurzel aus x^a.
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Nun kannst du die Aussagen nach diesen explizit überprüfen. Zum Beispiel kann die letzte Aussage schon gar nicht stimmen. Quadrieren (s.o. 0) Potenzierung) heisst die Zahl einmal mit sich selbst zu multiplizieren, aber i.A. ist das keine Verdopplung der Zahl. Beispiel für die Zahl 2, ergibt das Quadrat dasselbe, wie auch die Verdopplung. Jedoch scheitert es dann eben bei den anderen Zahlen, wie z.B. die 3. Es gilt nämlich 3^2 = 3*3 = 9 ≠ 6 = 2*3.
