Hallo.
Merke dir die Potenzregeln:
0) Potenzierung:
Es gilt xn = x * … * x (n-mal), wobei n ∈ |N ist. Der Spezialfall ist für n = 2, also gilt x2 = x*x.
1) Multiplikationsregel und Divisionsregel von Potenzen:
Es gilt
xa * xb = x^(a+b) für alle x ∈ |R
xa / xb = x^(a-b) für alle x ∈ |R \ {0}
2) Potenz-Potenzierung-Regel:
Es gilt
(xa)b = x^(ab) für alle x ∈ |R
3) Spezielle Basen und Potenzen:
Es gilt
x0 = 1 für alle x ∈ |R \ {0} und 0m= 0 für jede Zahl m ∈ (0,inf).
1n = 1*…*1 = 1 für alle n ∈ |N
00 ist nicht definiert.
4) Die Wurzel:
Die Quadratwurzel sqrt: [0,inf) —> |R, ist für jede nicht-negative Zahl x ≥ 0 definiert als sqrt(x) := x^(1/2)
Die Allgemeine p-te Wurzel lautet x^(1/p). Also die p-te Wurzel heisst die Zahl x mit dem Kehrwert 1/p zu potenzieren. Die Quadratwurzel ist da eben der Spezialfall für p = 2.
5) Negative Potenzen:
Die negativen Potenzen sind definiert als x^(-1) := 1/x für alle x ∈ |R \ {0}.
6) Rationale Potenzen:
Mit 2) und 4) erkennen wir, das eine Potenz x^(a/b), wobei a/b ∈ Q rational ist, folgenderweise definiert wird
x^(a/b) = (xa)^(1/b). Also ist x^(a/b) die b-te Wurzel aus xa.
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Nun kannst du die Aussagen nach diesen explizit überprüfen. Zum Beispiel kann die letzte Aussage schon gar nicht stimmen. Quadrieren (s.o. 0) Potenzierung) heisst die Zahl einmal mit sich selbst zu multiplizieren, aber i.A. ist das keine Verdopplung der Zahl. Beispiel für die Zahl 2, ergibt das Quadrat dasselbe, wie auch die Verdopplung. Jedoch scheitert es dann eben bei den anderen Zahlen, wie z.B. die 3. Es gilt nämlich 32 = 3*3 = 9 ≠ 6 = 2*3.
