Rechenregeln für Potenzen

Question

Aufgabe:

Regeln für das Rechnen mit Potenzen mit einer positiven reellen Zahl als Basis können für beliebige reelle Exponenten allgemein formuliert werden. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! (2 aus 5)

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden addiert, indem man die gemeinsame Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert.

Die Quadratwurzel einer Potenz erhält man, indem man den Exponenten der Potenz halbiert.

Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponenten werden dividiert, indem die Differenz der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird.

Eine Potenz wird quadriert, indem die Basis verdoppelt wird.

Problem/Ansatz:

Welche aussagen sind korrekt ?

Comments

Deine Vorüberlegungen dazu sind welche?

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Als Schlagwort für diese Aufgabe hattest Du "wahrscheinlichkeit" vergeben.

Was hat es damit auf sich?

Answer 1

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden addiert, indem man die gemeinsame Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

Gegenbeispiel
2^2 + 2^3 ≠ 2^6

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert.

Es gilt das Potenzgesetz
a^m / a^n = a^(m - n)

Die Quadratwurzel einer Potenz erhält man, indem man den Exponenten der Potenz halbiert.

Nach Potenzgesetz gilt
√(a^n) = (a^n)^{1/2} = a^{n/2}

Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponenten werden dividiert, indem die Differenz der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird.

Gegenbeispiel
2^2 / 3^2 ≠ (2 - 3)^2

Eine Potenz wird quadriert, indem die Basis verdoppelt wird.

Gegenbeispiel
(3^2)^2 ≠ 6^2

Comments

allgemein:

Behauptung:

(a^n)^2= (2a)^2

a^(2n)= 4a^2

Wie geht der Beweis weiter?

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Setze a=1 ein und erkenne den Widerspruch.

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Eine Potenz wird quadriert, indem die Basis verdoppelt wird.

Der Term

(a^n)^2= (2a)^2

wäre meiner Meinung nach verkehrt. Sollte es nicht

(a^n)^2 = (2a)^n

lauten?

(a^n)^2 = (2a)^n
a^n * a^n = 2^n * a^n
a^n * a^n - 2^n * a^n = 0
(a^n - 2^n) * a^n = 0
a = 0 oder a = 2

Wir sehen, dass das nur gilt, wenn die Basis 0 oder 2 ist.

Answer 2

Hallo, natürlich könnte ich, aber auch viele andere, hier die Kreuze setzen. Das hilft dir aber nicht weiter.

Du hast sicherlich die Potenzgesetze vorliegen. Wende sie bitte an.

Und grundsätzlich lassen sich diese Aufgaben auch durch das Einsetzen kleiner, ganzer Zahlen durchprobieren. Da können zwar Fallen lauern - aber diese Vorgehensweise hilf oft. Nehmen wir die mittlere Aussage:

"Die Quadratwurzel einer Potenz erhält man, indem man den Exponenten der Potenz halbiert".

Wir rechnen beispielsweise 3⁴=81 und 3²=9; 9 ist die Quadratwurzel von 81. Das sichern wir mit 2⁶=64 und 2³=8 ab; 8 ist die Quadratwurzel von 64.

Grundsätzlich sind aber zuallererst die Rechengesetze anzuwenden.

Hilft das?

Comments

für die Zahlen 1 und 2, ergibt das Quadrat dasselbe, wie auch die Verdopplung.

Wenn du statt der 1 die Null meinst, stimmt deine Aussage.

Answer 3

Hallo.

Merke dir die Potenzregeln:

0) Potenzierung:

Es gilt x^n = x * … * x (n-mal), wobei n ∈ |N ist. Der Spezialfall ist für n = 2, also gilt x^2 = x*x.

1) Multiplikationsregel und Divisionsregel von Potenzen:

Es gilt

x^a * x^b = x^(a+b) für alle x ∈ |R

x^a / x^b = x^(a-b) für alle x ∈ |R \ {0}

2) Potenz-Potenzierung-Regel:

Es gilt

(x^a)^b = x^(ab) für alle x ∈ |R

3) Spezielle Basen und Potenzen:

Es gilt

x^0 = 1 für alle x ∈ |R \ {0} und 0^m= 0 für jede Zahl m ∈ (0,inf).

1^n = 1*…*1 = 1 für alle n ∈ |N

0^0 ist nicht definiert.

4) Die Wurzel:

Die Quadratwurzel sqrt: [0,inf) —> |R, ist für jede nicht-negative Zahl x ≥ 0 definiert als sqrt(x) := x^(1/2)

Die Allgemeine p-te Wurzel lautet x^(1/p). Also die p-te Wurzel heisst die Zahl x mit dem Kehrwert 1/p zu potenzieren. Die Quadratwurzel ist da eben der Spezialfall für p = 2.

5) Negative Potenzen:

Die negativen Potenzen sind definiert als x^(-1) := 1/x für alle x ∈ |R \ {0}.

6) Rationale Potenzen:

Mit 2) und 4) erkennen wir, das eine Potenz x^(a/b), wobei a/b ∈ Q rational ist, folgenderweise definiert wird

x^(a/b) = (x^a)^(1/b). Also ist x^(a/b) die b-te Wurzel aus x^a.

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Nun kannst du die Aussagen nach diesen explizit überprüfen. Zum Beispiel kann die letzte Aussage schon gar nicht stimmen. Quadrieren (s.o. 0) Potenzierung) heisst die Zahl einmal mit sich selbst zu multiplizieren, aber i.A. ist das keine Verdopplung der Zahl. Beispiel für die Zahl 2, ergibt das Quadrat dasselbe, wie auch die Verdopplung. Jedoch scheitert es dann eben bei den anderen Zahlen, wie z.B. die 3. Es gilt nämlich 3^2 = 3*3 = 9 ≠ 6 = 2*3.

Comments

für die Zahlen 1 und 2, ergibt das Quadrat dasselbe, wie auch die Verdopplung.

Wie wär's mit einer erneuten Bearbeitung ?
Oder vielleicht findest du ja wieder mal eine Entschuldigung, warum das eigentlich doch richtig ist.

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Stimmt, hast Recht. Es ist nur 2

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Es ist nur 2

Und was ist mit der 0?

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Ja stimmt die 0 auch. Aber ich habe ja nur ein ,,Beispiel‘‘ angegeben.

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Aber ich habe ja nur

Das ist es, was ich mit "wieder mal eine Entschuldigung"  meine.

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Ich kann nicht mehr erkennen, was vorher stand. Als Beispiel ist 2 natürlich korrekt, ohne Anspruch damit alle Fälle genannt zu haben.

Falsch ist übrigens: "Quadrieren heisst die Zahl zweimal mit sich selbst zu multiplizieren."

Richtig wäre: "Quadrieren heisst die Zahl (einmal) mit sich selbst zu multiplizieren."

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@nudger Stimmt, das habe ich jetzt korrigiert

Danke!