Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades um die Entwicklungsstelle 0.

Question

Aufgabe:

Nr 2 a)

Problem/Ansatz:

Hier muss ich das erstmal zu Summe aus n=1 bis unendlich (-1)^n+1 (x^n)/n umschreiben (Foto) richtig? Wie gehe ich dann hier vor, muss ich dann die binomische anwenden und dann wäre das, was wäre dann mein x auf dem zweiten Foto? Wäre das dnan x = x^2 + 2x, wüsste aber dann nicht wie ich weiter rechnen sollte ?

Text erkannt:

2. Aufgabe
(15 Punkte)

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\ln \left((x+1)^{2}\right) \)
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades \( T_{2} f \) von \( f \) um die Entwicklungsstelle Null.
(b) Geben Sie das zugehörige Restglied \( R\{ \) an und ermitteln Sie damit, wie groß der Fehler höchstens ist, wenn das Taylorpolynom aus (a) zur Berechnung von \( f(1 / 4) \) verwendet wird.
(c) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left((x+1)^{2}\right)}{x} \).

Text erkannt:

DARMSTAD
Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0 und Konvergenzbereich I:
\( \begin{array}{rlrl} e^{x} & =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, & I=\mathbb{R} \\ \sin x & =\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}, & I & =\mathbb{R} \\ \cos x & =\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, & I=\mathbb{R} \\ \frac{1}{1-x} & =\sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n}, & I=(-1,1) \\ \ln (1+x) & =\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}, & I=(-1,1] \end{array} \)

Answer 1

Hier muss ich das erstmal zu Summe aus n=1 bis unendlich (-1)n+1 (xn)/n umschreiben (Foto) richtig?

Nein. Du hast jetzt schon mehrere Fragen zum Taylorpolynom gestellt und offenbar noch immer nicht verstanden, dass du die Definition des Taylorpolynoms benutzen sollst. Wenn du sie nicht kennst, schlag sie in deinen Unterlagen nach. Da solltest du dann sowas in der Art finden: $$T_n f(x;a) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dotsb + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$Hier ist \(a\) die Entwicklungsstelle.

Die fertigen Potenzreihen der Funktionen brauchst du also grundsätzlich nicht.

Comments

Ich stelle Fragen zu dem Thema, weil das Thema für mich noch nicht so leicht ist, da darf ich so viel über das Thema fragen wie ich will, dafür nutze ich ja auch die Website.

Ja aber was ist hier mein a ? Wie finde ich dieses aus der gegebenen Funktion?

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Ja aber was ist hier mein a ? Wie finde ich dieses aus der gegebenen Funktion?

Der Apfelmann sagte: Hier ist a die Entwicklungsstelle.

Also ist a = 0.

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Wenn man nicht liest, was geschrieben wird, dann wird das Verständnis auch ausbleiben. Ich habe in meiner Antwort geschrieben, dass \(a\) die Entwicklungsstelle ist. Die Entwicklungsstelle ist der Aufgabenstellung zu entnehmen.

Selbstverständlich darfst du so viel fragen wie du willst, aber wenn du etwas verstehen möchtest, solltest du auch das lesen, was man dir antwortet. Da du hier: https://www.mathelounge.de/1087994/taylorpolynom-stellen-nach-erster-ordnung eine ähnliche Frage gestellt hast und danach gefragt hast, wie man auf den Ansatz kommt und du nun hier etwas Ähnliches fragst, ist es naheliegend, dass du auch die andere Frage nicht richtig verstanden hast.

Grundsätzlich sollte man bei solchen Aufgaben in erster Linie mit den eigenen Unterlagen arbeiten. Wenn da steht, bestimmen Sie das Taylorpolynom, dann sollte man also die Definition davon nachschlagen. In den meisten Fällen ergibt sich schon von selbst, welchen Ansatz man zu wählen hat. Dabei ist es auch erst einmal unerheblich, ob das Thema für einen neu ist oder nicht. Dafür gibt es ja die Unterlagen: zum Nachschlagen.

Es ist auch vollkommen normal, dass es am Anfang vielleicht noch nicht so gut funktioniert, aber deswegen ist sauberes Arbeiten und sorgfältiges Lesen umso wichtiger. Damit klären sich die meisten Fragen häufig schon von selbst.

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Jetzt habe ich es, müsste so stimmen.

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Die fertigen Potenzreihen der Funktionen brauchst du also grundsätzlich nicht.

Es entbehrt aber nicht einer gewissen Cleverness, es trotzdem zu tun.

Und mit (x+1)² = 1+(x²+2x) ist auch der Gedanke des Fragenstellers durchaus chic.

\( \frac{x^2+x}{1} -\frac{(x^2+x)^2}{2} \) kann man schon machen und daraus den linearen und den quadratischen Anteil ermitteln.

Answer 2

Schaffst du es die Funktion f(x) zweimal abzuleiten?

[spoiler]

f(x) = LN((x + 1)^2)
f'(x) = 2/(x + 1)
f''(x) = - 2/(x + 1)^2

[/spoiler]

Und mit den Ableitungen jetzt das Taylorpolynom aufstellen

[spoiler]

T(x) = f(0) + f'(0)/1!·x + f''(0)/2!·x^2
T(x) = 0 + 2·x - 2/2!·x^2
T(x) = 2·x - x^2

[/spoiler]

Mehr ist schon nicht verlangt.

Answer 3

Zu deiner konkreten Frage bzgl. der binomischen Formel:

Die brauchst du hier nicht, denn du kannst die Funktion für \(x>-1\) auch so schreiben:

\(\ln( (x+1)^2 ) = 2\ln(x+1)\)

Jetzt brauchst du nur noch die üblicherweise bekannte Taylorentwicklung von \(\ln(x+1)\) benutzen.

Anmerkung zum Kommentar:
Auf dem gesamten Definitionsbereich der Funktion gilt

\(\ln( (x+1)^2 ) = 2\ln|x+1|\)

Das spielt hier aber in dieser Aufgabe keine Rolle.
Selbst wenn die komplette Taylorreihe gesucht wäre, könnte diese niemals die Funktion für \(x\leq -1\) repräsentieren.

Comments

Das ist so nicht ganz richtig.
Lt. Aufgabenstellung ist die Funktion \(f(x)=\ln\!\left((x+1)^2\right)\) auf \(\R\backslash\lbrace-1\rbrace\) definiert.
Auf die Funktion \(2\ln(x+1)\) trifft das nicht zu.

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@Arsinoé
Auf diesen Kommentar hab ich gewartet.

Wir entwickeln um \(x=0\) und die Taylor-Reihe kann grundsätzlich nicht die Funktion für Werte \(x\leq -1\)  repräsentieren.

Daher spielen die eigentlich erforderlichen Betragstriche sowieso keine Rolle in der Aufgabe.

Ich hab deshalb bewusst die Betragsstriche weggelassen und bin darauf auch nicht weiter eingegangen, da das den FS möglicherweise noch weiter verunsichert hätte.

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@Arsinoé
Aber grundsätzlich hast du recht. Deshalb hab ich noch eine kleine Ergänzung in der Antwort vorgenommen.