Beweisen Sie n² > n+1 durch vollständige Induktion

Question

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen und komme nicht weiter:

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Aussage durch vollständige Induktion:

n² > n+1  für alle n≥  2

Problem/Ansatz:

(n+1)² > (n+1)+1

(n+1) x (n+1) > n + 2

n² + 2n + 1 > n + 2 | -n

n² + n + 1 > 2 | -1

n² + n > 1

Hier weiß ich nicht weiter (oder bin total auf dem Holzweg).

Es wäre toll wenn mir hier jemand weiterhelfen kann.

Vielen Dank vorab!!!

Answer 1

"Von links nach rechts" geht es hier meiner Meinung nach etwas einfacher als die Ungleichung umzuformen. Vor allem wenn die Ungleichung recht stark zu sein scheint (wie hier: etwas quadratisches sollte recht schnell sehr offensichtlich größer sein als etwas lineares), fällt es mir persönlich etwas leichter von links nach rechts zu rechnen, da ich unnötige Terme meist einfach wegschmeißen kann.

Sei \(n\geq 2\) und die Ungleichung für \(n\) gegeben, dann:

\((n+1)^2=n^2+2n+1 \stackrel{\text{(IV)}}{>}(n+1)+2n+1\stackrel{2n>0}{>}(n+1)+1\), was die Aussage beweist.

Als Übung könntest du einmal versuchen, den von mir gegebenen Beweis in "Umformungsform" zu geben, und dann persönlich zu entscheiden, was du mehr magst.

Comments

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Ich kann aber nicht ganz folgen, wie woher die 2n im mittleren Teil kommt.

Es wäre lieb, wenn du mir das noch erläutern kannst.

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Oder ich habe den Ansatz nicht verstanden :-)

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Naja, die kommt von der binomischen Formel. Alles was ich mache, ist mittels IV das \(n^2\) durch \((n+1)\) zu ersetzen, und dann unnötige positive Terme wegschmeißen (was ich ja darf, da wir nach unten abschätzen).

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Vielen Dank!!!

Answer 2

(n + 1)² = n^2 + 2n + 1 > (n + 1) + 2n + 1 = 3n + 2 > (n + 1) + 1

Answer 3

Es geht auch ohne Induktion (auch wenn es die Aufgabe verlangt). Die Ungleichung ist äquivalent zu

\(n^2-n-1>0\).

Das ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \(S(\frac{1}{2}|-\frac{5}{4})\), das heißt für \(n\geq \frac{1}{2}\) ist sie streng monoton wachsend. Die positive Nullstelle liegt im Intervall \([1;2]\), so dass die Ungleichung für alle \(n\geq 2\) erfüllt ist.

Die Aufgabe hat natürlich den Zweck, die Beweismethode der vollständigen Induktion zu üben. Mit einer ähnlichen Argumentation würdest du dann auch bei deinen Umformungen weiterkommen. Das Ziel bei der vollständigen Induktion ist allerdings, die Induktionsvoraussetzung anzuwenden. Wenn du also einen sauberen Beweis durchführen möchtest, solltest du erst einmal den Induktionsanfang und die Induktionsbehauptung bzw. die Induktionsvoraussetzung sauber aufschreiben. Schaue dann, wo in deiner Umformung du diese dann ausnutzen kannst.

Comments

Verwandter Ansatz, leicht anders zuende argumentiert: Apfels Ungleichung ist äquivalent zu

\(n^2-n>1\), bzw. \(n(n-1)>1\). Für \(n\geq 2\) sind links beide Faktoren \(\geq 1\) und sogar einer \(>1\), damit das ganze Produkt \(>1\) und wir damit fertig.

Finde ich immer blöd, wenn man Erstis "Induktionsaufgaben" gibt, wo ein Beweis per vollständiger Induktion eigentlich der weniger elegante Weg ist. Gibt ja genug Aufgaben, wo sich Induktion mehr als alles andere anbietet..