Menge auf Häufungspunkte überprüfen

Question

Wenn man die Menge M={m+n*sqrt(2)| m,n∈ℤ} betrachtet sind ja alle Punkte isolierte Punkte und es gibt demnach keine Häufungspunkte oder?

Comments

Ist das so wie Du es geschrieben hast eine Aufgabe oder hast Du Dir die Menge M für irgendeinen Zweck ausgedacht?

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Also von genau dieser Menge soll man Häufungspunkte bestimmen falls vorhanden

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Was hältst du davon:

Die Annahme, dass alle Punkte in M isolierte Punkte sind und es keine Häufungspunkte gibt, ist nicht korrekt. Im Gegenteil, M ist eine dichte Teilmenge der reellen Zahlen, hat unendlich viele Häufungspunkte (tatsächlich ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt), und enthält keine isolierten Punkte..

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@Simple mind: Ich stimme zu: Das scheint mir eine KI-generierte Antwort zu sein.

Trotz der Verwarnung, dass KI-generierte Antworten von Dir nicht erwünscht sind, insbesondere dann, wenn Du (ich gebe zu: Das ist eine Unterstellung) die Ausgabe nicht einmal überprüfen kannst! Passiert das nochmal wirst Du kommentarlos gesperrt. Ich fühle mich dadurch veräppelt und ich muss mich nicht veräppelt fühlen!

Answer 1

" es gibt demnach keine Häufungspunkte"

Ich finde das korrekt.

Comments

was hier stand war erst mal falsch.

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Ich meine wenn man zbsp als x_0=0 aus M wählt und man zbsp ε=0.1 wählt, dann haben wir das Interval (-0,1;0,1) um x_0. Also, damit 0 ein Häufungspunkt ist, muss mindestens 1 Element aus M in diesem Intervall enthalten sein, welches von x_0 verschieden ist. Also ich finde hier jetzt kein Element aus M außer 0?

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Wenn man 1*\( \sqrt{2} \), 2*\( \sqrt{2} \), 3*\( \sqrt{2} \) ... 10*\( \sqrt{2} \)  berechnet, erhält man näherungsweise
1,41421356 
2,82842712
4,24264069 
 5,65685425
7,07106781
8,48528137

9,89949494 
11,3137085 
12,727922 
14,1421356

Wenn man davon die Zahl vor dem Komma subtrahiert, erhält man
0,41421356
0,82842712
0,24264069
0,65685425
0,07106781
0,48528137

0,89949494
0,3137085
0,727922
0,1421356

Wenn man das mit ALLEN Vielfachen von \( \sqrt{2} \) macht erhält man unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1.

Unendlich viele Zahlen drängen sich im Intervall 0 bis 1, und kein Teilintervall ist da irgendwie bevorzugt.

@mathef:

Denk mal darüber nach.

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Alle Folgeglieder der Folge \(a_k=\big(-1+\sqrt2\big)^k\) liegen in \(M\) und es ist \(\lim\limits_{k\to\infty} a_k=0\). Daher sollte Null ein Häufungspunkt sein. Jede reelle Zahl ist Häufungspunkt.

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Alle Folgeglieder der Folge \(a_k=0,336+\big(-1+\sqrt2\big)^k\) liegen in \(M\) und es ist \(\lim\limits_{k\to\infty} a_k=0,336\). Daher sollte 0,336 ein Häufungspunkt sein.

@Arsinoé4

Danke für den wegweisenden Input.

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\(a_0=0,336\) liegt sicher nicht in \(M\).

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Ach, das hatte ich nicht bedacht.

Ich ersetze mal 0,336 durch 336.

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Wie gesagt ist jede reelle Zahl Häufungspunkt und damit auch alle ganzen Zahlen.
Das hast du ganz wunderbar erkannt.

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Ist die Menge dennoch diskret?

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Kann die Menge diskret sein, wenn jeder Punkt ein Häufungspunkt ist und es demnach keine isolierten Punkte gibt?

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Aso nein, nicht