Berechnen Sie die Gleichung der Parabel, mit der Tangente t

Question

Aufgabe:

An die Hyperbel H: \( \frac{x^2}{36} \) - \( \frac{y^2}{81} \) =1   wird im Punkt B = (−10, b)⊺, b > 0 die Tangente t gelegt.
(a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel in erster Hauptlage (y² = ax), die ihren Scheitel im Mittelpunkt der Hyperbel hat und ebenfalls t berührt.
(b) Berechnen Sie den Berührungspunkt dieser Tangente t mit der Parabel.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich soweit b für den Punkt B ausgerechnet: b=12 => B=(-10,12)

Nun wollte ich die Tangente bestimmen mit t(x) = kx + d

Die erste Gleichung erhalten wir durch 12 = -10k + d

Die zweite wollte ich durch Einsetzen von kx + d statt y in die Hyperbelgleichung erhalten.

Hier wollte ich die Determinante schließlich 0 setzen, aber ich komme auf kein logisches Ergebnis.

Den Rest würde ich hinbekommen, ich verstehe nur nicht wie ich die Determinante in diesem Fall berechne.

Vielen Dank!

Answer 1

H nach y auflösen

Von den zwei Lösungen ist wegen b > 0 nur die positive interessant.

Nach x ableiten.

-10 für x in die Ableitung einsetzen

Gleich k setzen.

Das ist deine zweite Gleichung.

Answer 2

Ein anderer Ansatz:

H: \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{81}  =1\)

Tangentengleichung allgemein:

\( \frac{x\cdot x_B}{a^2} - \frac{y\cdot y_B}{b^2}  =1\)

B\((-10|12)\)

\( \frac{-10x}{36} - \frac{12y}{81}  =1\)

\( y=-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4}\)

Parabel:

\(y^2=a x\)

\((-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4})^2=ax\)

\( \frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}=ax\)

Nun mit den Mitteln deiner Wahl die Gleichung lösen und die Diskriminante =0.

Comments

und die Determinante

Das Ding heißt Diskriminante.

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Ein anderer Ansatz:

....

\( y=-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4}\)

Ist die Tangentengleichung bekannt, so reicht es aus, deren Nullstelle \(x_0\) zu berechnen. Die X-Koordinate \(x_b\) des Berührpunkts mit der Parabel ist dann schlicht$$x_b = 2x_0$$und der Parameter \(a\) der Parabel folgt aus dem Halbparameter \(p\). Ist \(m_T\) die Steigung der Tangente so ist $$p =  \frac{x_b}{m_T}$$was aus der Definition der Parabel mit Leitlinie folgt und \(a\)$$a = \frac{1}{2p} = \frac{m_T}{4x_0}$$