Berechnen Sie die Gleichung der Parabel, mit der Tangente t

Question

Aufgabe:

An die Hyperbel H: \( \frac{x^2}{36} \) - \( \frac{y^2}{81} \) =1   wird im Punkt B = (−10, b)⊺, b > 0 die Tangente t gelegt.
(a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel in erster Hauptlage (y² = ax), die ihren Scheitel im Mittelpunkt der Hyperbel hat und ebenfalls t berührt.
(b) Berechnen Sie den Berührungspunkt dieser Tangente t mit der Parabel.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich soweit b für den Punkt B ausgerechnet: b=12 => B=(-10,12)

Nun wollte ich die Tangente bestimmen mit t(x) = kx + d

Die erste Gleichung erhalten wir durch 12 = -10k + d

Die zweite wollte ich durch Einsetzen von kx + d statt y in die Hyperbelgleichung erhalten.

Hier wollte ich die Determinante schließlich 0 setzen, aber ich komme auf kein logisches Ergebnis.

Den Rest würde ich hinbekommen, ich verstehe nur nicht wie ich die Determinante in diesem Fall berechne.

Vielen Dank!

Answer 1

Ein anderer Ansatz:

H: \( \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{81}  =1\)

Tangentengleichung allgemein:

\( \frac{x\cdot x_B}{a^2} - \frac{y\cdot y_B}{b^2}  =1\)

B\((-10|12)\)

\( \frac{-10x}{36} - \frac{12y}{81}  =1\)

\( y=-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4}\)

Parabel:

\(y^2=a x\)

\((-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4})^2=ax\)

\( \frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}=ax\)

Nun mit den Mitteln deiner Wahl die Gleichung lösen und die Diskriminante =0.

Comments

und die Determinante

Das Ding heißt Diskriminante.

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Ein anderer Ansatz:

....

\( y=-\frac{15}{8}x-\frac{27}{4}\)

Ist die Tangentengleichung bekannt, so reicht es aus, deren Nullstelle \(x_0\) zu berechnen. Die X-Koordinate \(x_b\) des Berührpunkts mit der Parabel ist dann schlicht$$x_b = 2x_0$$und der Parameter \(a\) der Parabel folgt aus dem Halbparameter \(p\). Ist \(m_T\) die Steigung der Tangente so ist $$p =  \frac{x_b}{m_T}$$was aus der Definition der Parabel mit Leitlinie folgt und \(a\)$$a = \frac{1}{2p} = \frac{m_T}{4x_0}$$

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Vielen Dank für deine Antwort,

habe nur eine Frage bezüglich des Lösens der Parabelgleichung. Wenn ich durch x dividiere habe ich keine quadratische Gleichung mehr, da funktioniert dann weder pq-Formel noch die abc-Methode. Wie löse ich diese Gleichung sonst? Weil ich muss ja irgendwie die x loswerden und a als Zahl berechnen.

Danke!

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Nicht durch x dividieren!

\( \frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}=ax |\)

\( \frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x+\frac{729}{16}-ax=0|-\frac{729}{16} \)

\( \frac{225}{64} x^2+ \frac{405}{16}x-ax=-\frac{729}{16} | \cdot \frac{64}{225} \)

Dann \(x\) ausklammern und weiter mit der pq - Formel oder der quadratischen Ergänzung.

u.s.w.

Answer 2

H nach y auflösen

Von den zwei Lösungen ist wegen b > 0 nur die positive interessant.

Nach x ableiten.

-10 für x in die Ableitung einsetzen

Gleich k setzen.

Das ist deine zweite Gleichung.

Answer 3

y = k·x + d
y^2 = (k·x + d)^2 = k^2·x^2 + 2·d·k·x + d^2

Das setzen wir in die Hyperbel ein

x^2/36 - y^2/81 = 1
9·x^2 - 4·y^2 = 324
9·x^2 - 4·(k^2·x^2 + 2·d·k·x + d^2) = 324
9·x^2 - 4·k^2·x^2 - 8·d·k·x - 4·d^2 - 324 = 0
(9 - 4·k^2)·x^2 + (- 8·d·k)·x + (- 4·d^2 - 324) = 0

Diskriminante

(- 8·d·k)^2 - 4·(9 - 4·k^2)·(- 4·d^2 - 324) = 0
144·d^2 - 5184·k^2 + 11664 = 0

Zusammen mit der Gleichung - 10·k + d = 12 hast du ein Gleichungssystem welches du lösen kannst. Ich erhalte d = -6.75 ∧ k = -1.875 und damit die Tangente

y = -1.875·x - 6.75

Skizze

~plot~ 3sqrt(x^2-36)/2;-3sqrt(x^2-36)/2;-1.875x-6.75;{-10|12};[[-15|15|-20|20]] ~plot~