Umkehrfunktionsbeweise und Verkettung

Question

Aufgabe:

Umkehrfunktion

Geg.: ist eine bijektive Funktion f: A -> B

a) Zeige das (f^-1)^-1 = f, also das die Inversion der Inversenfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt.

b) Gegeben sind zwei bijektive Funktionen

f1 : A -> B und f2: B -> C . Zeige, dass die Inverse der Verkettung f1 ο f2 gleich der Verkettung der Inversen in umgekehrter Reihenfolge ist, also:

(f2 ο f1)^-1 = f1^-1 ο f2^-1

Problem/Ansatz:

Zu a)

Ich hab als erstes ein Beispiel eingesetzt:

f(x) = × + 1

Umkehrfunktion: f(x)^-1 = x-1

Davon die Umkehrfunktion: (f(x)^-1)^-1 = x +1

Somit stimmt es ja aber wie kann ich das allgemeiner formulieren?

Bei b fehlt mir komplett der ansatz wie man vorgehen sollte

Answer 1

Hier ist es hilfreich, die Assoziativität der Verkettung von Funktionen auszunutzen.

Ich mach mal a).

Dazu bezeichne ich mit \(I_A\) und \(I_B\) die Identitäten auf \(A\) bzw. \(B\). Also z. Bsp. \(I_A(a) = a\) für alle \(a \in A\). Analog für \(B\).

Nun haben wir:

\(f= I_B\circ f= ((f^{-1})^{-1}\circ f^{-1})\circ f = ...\)

\( ...= (f^{-1})^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)=(f^{-1})^{-1}\circ I_A= (f^{-1})^{-1}\)

Bei b) kannst du ähnlich vorgehen. Probier mal.