Konvergenznachweis dieser Reihe: a_k = (√(k+1) - √(k))/k

Question

Konvergenznachweis dieser Reihe:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \)

\( a_{k}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k} \)

Mit Quotientenkriterum funktioniert das glaube ich nicht.

Answer 1

Ich benutze den 3. Binom, um die Differenz im Zähler wegzubringen.

a_k = (√(k+1) - √(k))/k  = 1 / (k(√(k+1) + √k)  < 1/(k *2 *√k) = 1/2 * k^{1.5} = b_k

(b_k) _{k Element N} wäre dann eine konvergente Majorante.

Somit konvergiert deine Reihe.

Comments

Wie kommst du von 

(√(k+1) - √(k))/k  = 1 / (k(√(k+1) + √k)

 

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