Steigung der Tangente einer Funktion an Stelle -1?

Question

Aufgabe:

Ich habe folgendes Problem, bei dem ich keine Ahnung habe, wo der Fehler liegt.

Berechne die Steigung der Tangente an die Funktion f mit f(x)=\( \frac{3x²+4}{5} \) * 2x² an der Stelle -1.

Problem/Ansatz:

Also habe ich zuerst die Ableitung der Funktion berechnet mithilfe der Quotientenregel (=f'g-fg'/g² )

= 6x*5- (3x²+4)*(0)/5² * 4x

=\( \frac{30x}{25} \) *4x

dann natürlich bei den x -1 einsetzen und laut der Lösung sollte k=8 herauskommen, aber bei mir kommt 4,8 heraus

Answer 1

Eigentlich würde kaum ein Mathematiker die Funktion in der gegebenen Form angeben, wenn sie sehr vereinfachbar ist.

f(x) = (3·x^2 + 4)/5 · 2·x^2
f(x) = (3/5·x^2 + 4/5) · 2·x^2
f(x) = (0.6·x^2 + 0.8) · 2·x^2
f(x) = 1.2·x^4 + 1.6·x^2

Daher schau nochmals genau ob die Funktion wie angegeben aussieht. Wenn ja ist die Ableitung

f'(x) = 4.8·x^3 + 3.2·x

Und an der Stelle x = -1

f'(-1) = 4.8·(-1)^3 + 3.2·(-1) = -8

Dann wäre die Steigung -8 und nicht +8. Auch das bitte nochmals checken.

Comments

du hast recht, die lösung ist -8, habe nicht ordentlich geschaut

Answer 2

Oberste Regel bei der Quotientenregel: Du brauchst einen Quotienten, der abgeleitet werden soll.

Hier steht aber ein Produkt. Also, welche Regel kommt zur Anwendung?

Die Ableitung des Terms mit der 5 im Nenner kannst Du mit der Quotientenregel machen (manch ein Helfer freut sich sehr darüber ;-)), einfacher ist es aber den konstanten Faktor \(\frac15\) nach vorne zu ziehen.

Selbst die Produktregel brauchst Du nicht, wenn Du den Zähler ausmultiplizierst (das ist der einfachste Weg).

Comments

aber die Quotientenregel benutzt man doch bei brüchen?

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Siehe oben. Es geht, aber es macht die Sache viel(!) komplizierter.

Du solltest erkennen, dass Du nicht wirklich einen Quotienten hast, sondern ein Produkt \(\frac15\cdot ...\).

Answer 3

Du hast zwar die Quotientenregel angewendet, aber dann vergessen, dass du aufgrund des Produktes zusätzlich die Produktregel brauchst. Daher stimmt dein Ergebnis nicht.

Außerdem kommst du hier völlig ohne Quotientenregel aus:

Schreibe \(\frac{3x^2+4}{5}=\frac{3}{5}x^2+\frac{4}{5}\) und multipliziere diesen Ausdruck dann mit \(2x^2\) (Klammer nicht vergessen). Da im Nenner nur eine Konstante ist (ohne \(x\)), braucht man die Quotientenregel nicht; die Produktregel übrigens auch nicht.

Comments

ich verstehe nicht ganz. soll ich die produktregel dann mit 4x und dem bruch machen? Ich kenne es nur so, dass man die produktregel benutzt, wenn man zwei klammerausdrücke ableitet.

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Nein, die Produktregel braucht man, wenn man ein Produkt zweier Ausdrücke hat, die von der Variablen abhängen. Das liegt hier vor. Und nein, die Produktregel machst du natürlich mit \(2x^2\) bzw. kannst sie dir sparen, wenn du ausmultiplizierst.

Zu deinem Kommentar oben: Die Quotientenregel braucht man nur dann, wenn Zähler und Nenner von der Variablen abhängen.

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und dieses \( \frac{3}{5} \)x² + \( \frac{4}{5} \) *2x² dann ableiten?

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und dieses \( \frac{3}{5} \)x² + \( \frac{4}{5} \) *2x² dann ableiten?

Nein:

Schreibe \(\frac{3x^2+4}{5}=\frac{3}{5}x^2+\frac{4}{5}\) und multipliziere diesen Ausdruck dann mit \(2x^2\) (Klammer nicht vergessen)

\(\red{(}\frac{3}{5}x^2+\frac{4}{5}\red{)}\cdot 2x^2=\frac{6}{5}x^4+\frac{8}{5}x^2\)

Jetzt kannst du ableiten.

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@ Eva: Da Du wohl Schwierigkeiten mit den Ableitungsregeln hast, würde ich Dir raten auch den Term auf der linken Seite bei Moliets mit der Produktregel abzuleiten und dann mit der Ableitung der rechten Seite zu vergleichen.